небольшое расстояние
В следующий момент времени сила и ускорение возрастают, поскольку уменьшается расстояние между взаимодействующими телами
Обращаем внимание, что уравнение явно отличается от уравнения движения с неизменным ускорением, от уравнения падения тела в гравитационном поле Земли.
По аналогии, рассматривая равные интервалы времени, находим следующий пройденный интервал
Мы считаем, что к появлению силы притяжения приводит искривление пространства-времени массой тела M. Проявляются эта сила и кривизна в том, что мировая линия, геодезическая тела m также искривляется. Это, собственно, и есть уравнение для визуальной демонстрации кривизны: мы теперь можем построить график, геодезическую на диаграмме Минковского. Для удобства немного изменим уравнения
Следующее уравнение также изменит вид
В общем виде уравнение принимает вид
Очевидно, что
следовательно, в конечной точке сила притяжения, ускорение и кривизна приобретут бесконечно большие значения. Но это в случае точечного объекта M. Мы принимаем, что объект либо имеет конечные размеры — r0, либо тело m приблизится к нему на конечное расстояние, либо "пролетит" мимо по другой координате.
Мы не будем пытаться решить эти уравнения аналитически, поскольку они позволяют довольно просто построить график непосредственно. Для построения графика кривизны, считая его тождественным графику силы, преобразуем уравнения к качественно подобному виду
Строим графики этих уравнений, помня, что они являются функциями времени
Рис. 3.2. Тело падает на массивную звезду. График силы Fx соответствует кривизне пространства-времени. Вблизи звезды кривизна очень велика, в проделанных вычислениях график уходит к значениям Fx ~ 200.
Традиционные для физики Ньютона графики рис. 3.3 показывают ситуацию падения пробного тела на звезду, после чего его мировая, геодезическая прерывается, пробное тело сливается со звездой. Однако возможна и ситуация, что пробное тело "промахивается" мимо звезду и продолжает своё движение далее, удаляясь от неё. Эту картину демонстрируют те же уравнения, что и для первого этапа движения, этапа падения. Нужно просто продлить графики во времени. В результате получаем графики более полные
Рис. 3.3. Пробное тело m падает на звезду M, но в последний момент траектория тела проходит мимо звезды, по другой координате (не показана). Вблизи звезды, на наименьшем удалении от неё сила Fx резко возрастает, пик уходит далеко за границы рисунка. Если развернуть время в точке пика, то график R(t) приобретёт вид параболы, соответствующей броску тела вверх в обозначениях физики Ньютона.
Если развернуть влево нижнюю часть графика силы, то есть, в обратном направлении времени, образуется некоторое подобие параболы, описывающей в физике Ньютона бросок тела вертикально вверх. Как мы отметили, изобразить графически воздействие кривизны пространства-времени на тела либо весьма сложно, либо вообще невозможно. Гравитационные воронки, рассмотренные выше, являются графиками кривизны или силы. Но механизм движения на этих графиках практически не просматривается, неясно, как именно кривизна вызывает перемещение тел, вызывает появление реальной силы, вызывающей их движение.
Рис. 3.4. Диаграмма Минковского на основе графиков рис. 3.3 — пробное тело m падает на звезду M, но в последний момент траектория тела проходит мимо звезды, по другой координате (не показана). Сила Fx является эквивалентом кривизны пространства. Вблизи звезды, на наименьшем удалении от неё кривизна резко возрастает, пик уходит далеко за границы рисунка. Если в точке пика развернуть левую часть графика R(t) вниз, то он приобретёт вид параболы, соответствующей броску тела вверх в физике Ньютона.
На рис. 3.2 и рис. 3.3 мы показали систему с одной пространственной координатой. В этом случае любое тело может двигаться только либо к наблюдателю, либо от него. В частности, такая система описывает бросок мяча вверх. Кроме того, мы можем в ней рассмотреть и ситуацию с искривлённым пространством рис. 1.1 и даже рис. 1.2, считая, что притягиваемое тело движется только по одной координате.
На рис. 3.4 приведена условная диаграмма Минковского, построенная по графикам рис. 3.3. Условность заключена в том, что время, сила и расстояния измеряются в неопределённых единицах. Значение имеет только форма графиков.
На рисунке, диаграмме Минковского вдоль оси времени ct идёт мировая линия тяжёлого тела — некой звезды. На некотором расстоянии R0 от неё зависает спутник под действием собственных двигателей или двигателей транспортного корабля. В этом случае мировая линия спутника (этот участок линии не показан) параллельна прямолинейной мировой линии звезды. Поскольку мы рассматриваем ситуацию в системе отсчёта звезды, в которой она неподвижна, ей мировая линия строго прямолинейна, по определению — это ось координат ct.
Теперь корабль отстыковывает спутник, и тот начинает падение в сторону звезды. Видим, что в начальный момент сила притяжения довольно мала, поскольку на этом удалении пространство-время практически плоское, не искривлено массой звезды. По мере приближения спутника, пробного тела m к звезде, его геодезическая Rx, сила и её эквивалент — искривление пространства-времени — растут относительно медленно. И лишь вблизи массивного тела, звезды кривизна и сила тяготения резко возрастают. В этой области мировая линия спутника начинает искривляться по квадратно-гиперболической кривой в сторону звезды. Искривление мировой линии, геодезической является результатом действия закона всемирного тяготения, являющегося квадратичной гиперболой.
Если в некоторый момент времени спутник включит на торможение свои двигатели, то его мировая линия с этого момента вновь выпрямится и будет параллельна мировой линии звезды. Если двигатели не включать, то спутник упадёт на звезду, то есть, их мировые линии пересекутся.
Однако если произойдёт, прямо скажем, чудо, и перед самым падением спутника звезда телепортируется в удалённую область, то мировая линия спутника сохранит уклон, скорость, достигнутые в последний момент. Поскольку теперь пространство-время в окрестности спутника плоское, не искривлённое движение будет инерциальным, а мировая линия будет продляться сколь угодно далеко.
Всё это выглядит вполне логично, и даже объясняет, как ненаблюдаемая явно кривизна пространства-времени приводит, по сути, к графически наблюдаемому искривлению геодезических, мировых линий. Однако следует признать, это описание ничего не говорит о причинах, механизме искривления пространства-времени.
На диаграмме искривление пространства-времени, эквивалент силы F и мировая линия спутника, пробного тела m, геодезическая R являются фактически функциями времени — F(t) и R(t). Для построения гравитационной воронки транспонируем F(t) в
