в этом распределении, которое также называется стандартной ошибкой, не равно отклонению от стандарта выборки, о котором мы говорили ранее. Однако эти две величины напрямую связаны. В частности, стандартная ошибка равна отклонению от стандарта выборки, поделенному на квадратный корень размера выборки.
Это означает, что если вы хотите уменьшить погрешность в два раза, вам нужно увеличить размер выборки в четыре.
Для опроса «да/нет», как в рейтинге одобрения, погрешность 10 % при опросе 96 человек, 5 % – 384 человек, 3 % – 1067 человек и 2 % – 2401 человека. Поскольку предел погрешности выражает уверенность организаторов опроса в их подсчетах, логично, что он напрямую связан с размером выборки.
Иллюстрация ниже показывает, как доверительные интервалы работают для повторных экспериментов. На ней изображены 100 доверительных интервалов со значением 95 % для вероятности выбросить решку. Каждый был рассчитан из эксперимента, который включал симуляцию броска симметричной монеты сто раз. Эти доверительные интервалы графически представлены в виде «усов», которые визуально отображают показатель неопределенности при подсчетах.
«Усы» не всегда являются доверительными интервалами. Их можно получить и из других расчетов погрешности. Точка по центру «уса» – это приблизительное вычисление параметра, в данном случае норма выборки, а линии на его концах обозначают максимум и минимум числового диапазона, в данном случае доверительный интервал.
«Усы» на графике варьируются в зависимости от того, что показали разные эксперименты, но каждый охватывает диапазон около 20 %, что соответствует ±10 %, упомянутым выше (когда размер выборки – одна сотня бросков). Учитывая уровень доверия 50 %, можно ожидать, что 95 этих доверительных интервалов будут включать в себя истинную норму в размере 50 %. В данном случае 93 интервала включают в себя 50 % (7 интервалов, не включившие в себя эту величину, выделены черным).
Доверительный интервал со значением 95 % для 100 бросков симметричной монеты
Такие доверительные интервалы часто используются для вычисления разумных значений параметра, такого как вероятность выбросить решку. Но, как вы только что видели, истинная норма параметра (в данном случае 50 %) иногда выходит за рамки доверительного интервала. Нужно понимать, что доверительный интервал – это не диапазон всех возможных величин и истинная величина необязательно будет входить в него.
Нас очень беспокоит, когда статистические данные публикуются в СМИ без упоминания погрешностей или доверительных интервалов. Не забывайте искать их, когда читаете отчеты, и включайте их в собственную работу. Без оценки погрешности вы не поймете, насколько можно верить этому числу – будет ли истинная величина действительно близка к нему или, может быть, очень от него далека? Это вам подскажет доверительный интервал!
Все относительно
В предыдущем разделе мы написали, что средний рост женщины составляет 5 футов 4 дюйма. Если вам нужно угадать рост случайного незнакомца, но вы не знаете наверняка, что это женщина, не стоит называть 5 футов 4 дюйма, потому что средний мужской рост ближе к 5 футам 9 дюймам (175 см) и лучше брать число ближе к середине. Но если у вас есть дополнительная информация о том, что этот человек – женщина, то 5 футов 4 дюйма – это самая удачная догадка. Дополнительные данные влияют на вероятность.
Это пример модели, которая называется условной вероятностью – вероятностью наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло. Условная вероятность помогает лучше оценивать вероятности, используя дополнительную информацию.
Условные вероятности широко распространены в повседневной жизни. Например, тарифы страхования жилья привязаны к различным условиям вероятности страховых требований (например, на побережье Флориды надбавки выше, так как и угроза разрушения от урагана там выше, чем в Пенсильвании).
Точно так же генетическое тестирование скажет вам, подвержены ли вы повышенному риску определенных заболеваний: женщины с аномалиями генов BRCA1 или BRCA2 имеют до 80 % больше риска развития рака груди в возрасте девяноста лет.
Условная вероятность обозначается символом |. Например, вероятность (Р), что у вас будет рак груди к девяноста годам при условии, что вы женщина с мутацией гена BRCA, будет обозначаться как Р (рак груди в 90 лет | женщина с мутацией BRCA).
Некоторых сбивает с толку условная вероятность. Они путают вероятность того, что событие А произойдет при условии, что произошло событие В – Р(А|В), – с вероятностью того, что событие В произойдет при условии, что произошло событие А – Р(В|А). Это называется обратной ошибкой. Вы только что видели, что Р (рак груди в 90 лет | женщина с мутацией BRCA) составляет около 80 %, но вероятность Р (женщина с мутацией BRCA | рак груди в 90 лет) составляет всего 5–10 %, поскольку рак груди развивается у многих других людей без этой мутации.
Разберем более длинный пример, чтобы посмотреть на эту ошибку в действии. Допустим, полиция останавливает произвольного водителя, чтобы проверить на алкоголь, и заставляет его подышать в трубочку. Кроме того, предположим, что тест выдает ошибку примерно в 5 % случаев, показывая, что трезвый человек пьян. Какова вероятность, что этого человека несправедливо обвинят за вождение в нетрезвом виде?
Скорее всего, вы первым делом назовете 5 %. Однако вам дана вероятность, что тест объявляет человека пьяным, даже если на самом деле он трезв, то есть Р (тест = пьян | человек = трезв) = 5 %. Но что, если вас спросят, какова вероятность того, что человек трезв, если тест говорит, что он пьян, или Р (человек = трезв | тест = пьян)? Это совсем другая вероятность!
Вы не учли зависимость результата от базового процента пьяных за рулем. Представьте сценарий, где все ведут себя правильно и никто никогда не садится за руль пьяным. В таком случае вероятность, что человек трезв, будет 100 %, независимо от того, что покажет алкотестер. Когда при расчете вероятности не учитывается базовый процент (например, базовый процент числа пьяных водителей), такая ошибка называется ошибкой базового процента.
Представим себе более реалистичный базовый процент, когда пьян 1 водитель из 1000. Значит, есть маленький шанс (0,1 %), что человек, которого случайно остановила полиция, пьян. А так как мы знаем, что один из 20 тестов выдает ошибку (ошибка возникает в 5 % случаев), полиция, скорее всего, сделает очень много ошибок, прежде чем действительно поймает пьяного за рулем.
На самом деле,
если полиция остановит тысячу человек, в среднем они проведут около 50 ошибочных тестов, пытаясь найти одного по-настоящему нетрезвого водителя. Таким образом, вероятность ошибки алкотестера составляет всего 2 %,
то есть аппарат ошибочно показывает, что человек пьян. Или можно заявить, что трезвые водители попадаются в 98 % случаев. А это намного, намного больше,
