Ознакомительная версия. Доступно 22 страниц из 110
пределах самой математики. Скажем, аксиома выбора не нашла применения в прикладной математике, но большинство математиков предпочитают на нее ссылаться, поскольку она многое проясняет в «выдуманных» областях математики вроде топологии.
Воображение математиков подчиняется только одному ограничению (кроме необходимости заполучить надежную должность), и это логическая последовательность. Пока совокупность аксиом логически последовательна, она описывает возможную структуру. Но если оказывается, что аксиомы непоследовательны, то есть в них таится противоречие, значит, структуры, которые они описывают, невозможны, а следовательно, математики напрасно потратили на них время.
То есть математика – это всего лишь стиль рассуждений, а не наука о трансцендентных объектах? Не слишком ли безрадостна такая картина, чтобы вдохновить работающего математика? Авторы Naming Infinity замечают: «В истории математики со времен Пифагора до наших дней рационализм и мистицизм периодически плавно сменяют друг друга». Сегодня романтика платоновской математической реальности жива-здорова, о чем свидетельствуют приведенные здесь слова Алена Конна и Роджера Пенроуза.
К тому же есть и более яркий случай – Александр Гротендик. В шестидесятые годы Гротендик (сын русского анархиста, погибшего в Освенциме) работал в Париже и создал абстрактную основу для революционно-новой математики, что позволило ученым, работавшим в этой области, выражать идеи, которые до этого было невозможно сформулировать. В работах Гротендика налицо сильный мистический уклон. В своих пространных автобиографических сочинениях он описывает творческий процесс с участием «видений» и «вещих снов». Авторы Naming Infinity отмечают, что Гротендик, подобно русским имяславцам, считал, что называть объекты – это «способ улавливать их до того, как удастся их понять».
Гротендика, пожалуй, можно считать рекламой прагматической мощи мистицизма в математике. Он скончался в 2014 году отшельником в Пиренеях, где, по свидетельству редких гостей, провел последние десятилетия жизни «одержимым идеей дьявола: он считает, что тот не покладая рук разрушает божественную гармонию во всех уголках планеты».
Глава тринадцатая. Опасная идея бесконечно малого
Говоря о бесконечном, обычно имеют в виду бесконечно большое: немыслимые просторы, безграничный мир, безудержную силу, абсолют. Однако есть и другого рода бесконечность, совсем иная, пусть и по-своему восхитительная. Это бесконечно малое.
В обиходе «бесконечно малым» (infinitesimal) часто называют что-то очень маленькое по человеческим стандартам, такое крошечное, что его и измерять-то не стоит. Как правило, в этих словах звучит презрение. В своей биографии Фридриха Великого Карлейль говорит нам, что когда Лейбниц предложил объяснить, что такое бесконечно малое, королеве Пруссии Софии Шарлотте, та ответила, что по этому вопросу ей разъяснений не нужно: она знакома с ничтожествами на примере своих придворных. Чуть ли не единственный случай, когда в словах «бесконечно малое» не было уничижительного оттенка, я обнаружил в неоконченном романе Трумена Капоте «Услышанные молитвы» (Truman Capote, Answered Prayers), где повествователь рассказывает об изысканных овощах, подаваемых к столу людей очень богатых: «petits pois зеленее зеленого и микроскопические (infinitesimal) морковки». Зато примеров, когда infinitesimal путают с его антонимом infinite, полным-полно. Несколько лет назад в журнале New Yorker напечатали отрывок из интервью с одной голливудской старлеткой, где она рассказывала, что всегда находит чем занять вынужденные перерывы на съемках: записывает доходы и расходы, отвечает на письма и так далее. «Если как следует организовать свое время, – сказала актриса, – можно достичь поистине infinitesimal» (На что редакция печально заметила: «Знаем, знаем»).
Однако в строгом смысле слова бесконечно малое от нас в точности так же далеко, как и бесконечно большое. Паскаль в 72-й из своих «Мыслей» говорит о «двойной бесконечности» природы как о двух безднах, между которыми заключен конечный человек. Бесконечно великое лежит снаружи, на окружности всех вещей, а бесконечно малое – внутри, в центре всех вещей. Эти две крайности: «Одно зависит от другого, и одно ведет к другому. Крайности сходятся и, удаляясь друг от друга, соединяются. Они встречаются в Боге и только в Боге»[19]. Познать бесконечно малое нам еще труднее, чем бесконечно большое: «Философы только притязали на проникновение в нее [бесконечность малого], и на этом все спотыкались».
Стоит добавить, что и поэтический вымысел тут не особенно помог. В литературе было много попыток представить себе бесконечно большое: проповедь о вечности отца Арнолла в «Портрете художника в юности», квази-бесконечная «Вавилонская библиотека» Борхеса. А о бесконечно малом лишь обиняками говорится у Блейка – это бесконечность, которую можно увидеть «в единой горсти»[20] и – пожалуй, более наглядно – в «Рапсодии» Свифта:
Натуралистами открыты
У паразитов паразиты,
И произвел переполох
Тот факт, что блохи есть у блох.
И обнаружил микроскоп,
Что на клопе бывает клоп,
Питающийся паразитом,
На нем – другой, ad infinitum.
Со времен своего возникновения идея бесконечно малого воспринималась с глубоким недоверием, даже больше, чем бесконечно большое. Как что-то может быть меньше любой данной конечной величины и при этом не обращаться в ничто? Аристотель попытался запретить саму идею бесконечно малого на основании ее абсурдности. Дэвид Юм провозгласил, что эта мысль ударяет по здравому смыслу посильнее любой религиозной доктрины. Бертран Рассел отметал ее как «ненужную, ошибочную и внутренне противоречивую».
Но бесконечно малое вытерпело все попреки и оскорбления и на поверку оказалось небывало мощным инструментом постижения физической истины, движителем научной революции, начавшейся в эпоху Просвещения. Это был один из самых причудливых зигзагов удачи в истории научной мысли: в конце XIX века бесконечно малое сослали в темный подвал, казалось, на веки вечные, а в шестидесятые годы XX века полностью реабилитировали. И теперь оно служит хрестоматийным примером раз и навсегда разрешенного философского парадокса. Остается открытым только один вопрос: реально ли оно?
Парадоксально, но факт: бесконечно малое придумали прежде всего именно для того, чтобы спасти мир природы от нереальности. Эта идея, по всей видимости, появилась в древнегреческой мысли приблизительно в V веке до н. э. в ходе жарких метафизических дебатов о природе бытия. По одну сторону баррикад стояли монисты, Парменид и его последователи, которые утверждали, что бытие неделимо и любые перемены – лишь иллюзия. По другую – плюралисты, в том числе Демокрит и его сторонники-атомисты, а также Пифагор, утверждавшие, что перемены происходят на самом деле и их суть – это перестановка частей реальности.
Но если начинаешь дробить реальность и делить Одно на Много, где остановиться? Демокрит считал, что вещество можно анализировать до уровня крошечных единиц – атомов, которые, хотя и конечны по размеру, больше делиться не могут. Однако тут вставал другой вопрос – о пространстве, театре перемен. Нет никаких причин, почему
Ознакомительная версия. Доступно 22 страниц из 110
