Благодаря современным обозначениям мы ясно видим, что и восстановление, и редукция — примеры общего правила, согласно которому все, что вы делаете с одной частью уравнения, надо делать и с другой его частью. В первом уравнении мы прибавили С к обеим частям. Во втором уравнении мы вычли С из обеих частей. Поскольку по определению выражения по обе стороны от знака равенства равны друг другу, они должны оставаться равными и когда какое-то слагаемое одновременно прибавляется или вычитается с обеих сторон. Если мы умножим одну из частей уравнения на некоторое число, то и другую часть должны будем умножить на то же самое число, и все это применимо также к делению и другим операциям.
Аль-Хорезми был не первым, кто использовал восстановление и редукцию — эти операции можно найти еще у Диофанта. Когда книгу Аль-Хорезми перевели на латынь, фигурирующий в заглавии «aljabr» превратился в «алгебру». Книга Аль-Хорезми по алгебре, наряду с еще одной его книгой, посвященной индийской десятичной системе счисления, распространилась в Европе столь широко, что само имя его обессмертилось в качестве научного термина: аль-Хорезми стал Алхоарисми, Алгорисми и в конце концов алгоритмом.
* * *
С XV по XVII век математические предложения двигались по дороге от словесных выражений к символьным. Мало-помалу слова заменялись буквами. Диофант, может, и заложил основы буквенных обозначений, введя символ для неизвестной величины, но первым, кто широко популяризировал этот метод, был француз Франсуа Виет, живший в XVI столетии. Виет предложил использовать заглавные гласные буквы А, E, I, О, U и Y для неизвестных величин, а согласные В, С, D и т. д. — для известных.
Через несколько десятилетий после смерти Виета Рене Декарт опубликовал свое «Рассуждение о методе». В этом труде он применил математическую логику к человеческому мышлению. Для начала он подверг сомнению все свои убеждения, а после того, как все было отброшено, у него осталась лишь уверенность в том, что он существует. Тот аргумент, что нельзя подвергать сомнению собственное существование, коль скоро мыслительный процесс требует существования того, кто мыслит, нашел краткое выражение в знаменитой фразе из «Рассуждения» — «Я мыслю — следовательно, я существую». Это, наверное, наиболее известная в мире цитата, а сама книга считается краеугольным камнем западной философии. Декарт, однако, замысливал свой труд как введение к трем приложениям, составленным из других его научных работ. Одно из них — «La Geometrie» — в равной мере стало вехой в истории математики.
В своей «La Geometrie» Декарт вводит символы, ставшие затем стандартными алгебраическими обозначениями. Это первая книга, которая выглядит как современная публикация по математике, со всеми ее а, b и с, а также иксами, игреками и зетами. Именно Декарт решил использовать малые буквы из начала алфавита для известных величин, а малые буквы из конца алфавита — для неизвестных. Однако когда книгу набирали в типографии, наборщику в какой-то момент стало не хватать букв. Он поинтересовался у автора, насколько важно, какую именно букву нужно использовать — x, у или z. Декарт ответил, что это все равно, и наборщик использовал в основном букву x, потому что во французских словах эта буква используется реже, чем у или z. В результате x прочно поселился в математике — и даже на более широком культурном пространстве — в качестве обозначения, символа неизвестной величины. Именно поэтому материалы о паранормальных явлениях попадают в «X-файлы»[33], а Вильгельм Рентген предложил назвать обнаруженные им таинственные лучи X-лучами[34] Если бы не сиюминутные обстоятельства, касающиеся типографского набора текста, то словом для пробивающегося «звездного» таланта мог бы стать «Y-фактор», а афроамериканский политический лидер приобрел известность под именем Malcolm Z[35].
То, что Лука Пачоли в 1494 году выразил бы как
4 Census p 3 de 5 rebus ae 0,
а Виет в 1591 году записал бы как
4 in A quad - 5 in A piano + 3 aequatur 0,
Декарт в 1637 году застолбил в виде
4x2 - 5x + 3 = 0.
* * *
Замена слов буквами и символами представляла собой нечто большее, чем просто удобное сокращение записи. Начало символу x положило сокращение для «неизвестной величины», но коль скоро такое обозначение возникло, оно превратилось в мощное средство, способствующее мышлению. Просто слово или сокращение нельзя подвергнуть математическим операциям так, как это делается с символом, подобным x. Появление числа сделало возможным счет; но буквенные символы вывели математику в новую область, простирающуюся далеко за пределы языка.
Пока задачи формулировались риторически, как это было в Египте, математики применяли изобретательные, но довольно бессистемные методы для их решения. Древние решатели задач были подобны участникам экспедиции, застрявшим в тумане и вынужденным полагаться лишь на несколько ухищрений, помогающих продвигаться вперед. Когда же задачи стали формулировать, используя символы, туман этот рассеялся, и перед математиками предстал мир с исключительно ясными очертаниями. Диво алгебры состоит в том, что порой одна лишь запись задачи в символическом виде уже почти дает ее решение.
Вернемся к тому фокусу, о котором я рассказал в начале главы. Я попросил вас назвать трехзначное число, в котором первая и последняя цифры различались бы по крайней мере на два. А далее требовалось получить второе число, переставив цифры в исходном числе в обратом порядке.
Затем надо было вычесть меньшее число из большего. Так что если вы выбрали число 614, то число с переставленными цифрами было бы равно 416, и 614 - 416 = 198. В качестве последнего действия предлагалось сложить полученную разность и число, получающееся в результате перестановки в ней цифр в обратном порядке. В только что выбранном примере это будет 198 + 891.
Как и раньше, ответ равен 1089. Таким он будет всегда — и алгебра объясняет нам почему. Но прежде всего нам надо выработать способ для записи нашего главного героя — трехзначного числа, в котором первая и последняя цифры различаются по крайней мере на два.
Рассмотрим число 614. Оно равно 600 + 10 + 4. На самом деле любое трехзначное число вида abc можно записать как 100a + 10b + с. Итак, пусть наше исходное число есть abc, где а, b и с — отдельные цифры. Для удобства будем считать, что а больше c.
