1.117. Ношение тяжестей на гибких шестах
В Азии некоторые народы носят не очень тяжелые грузы, привязывая их к противоположным концам гибких шестов, сделанных, например, из бамбука (рис. 1.40). Когда человек с этим грузом идет или бежит, груз вместе с шестом колеблется в вертикальном направлении. Помогает ли это нести груз?
Главная задача пружинящего шеста — сгладить колебания нагрузки на плечи. Фокус в том, что, когда колебания в шесте устанавливаются, привязанные к нему грузы колеблются в противофазе с центром шеста: когда грузы поднимаются, центр шеста опускается, и наоборот. Кроме того, центр шеста колеблется в противофазе с движением плеч: когда плечи поднимаются, центр шеста опускается. Таким образом, плечи и грузы движутся в фазе, и поэтому нагрузка на плечи остается почти постоянной. Когда плечи движутся вверх, пружинящий шест посылает и грузы вверх. Когда плечи движутся вниз, движущийся вверх центр шеста поддерживает опускающиеся грузы.
1.118. Связанные маятники
Сделаем систему из двух маятников, для чего прикрепим концы двух одинаковых отрезков нити к опоре и обернем каждую нить по одному разу вокруг горизонтально расположенного стержня примерно на расстоянии одной трети от точки крепления нитей (рис. 1.41). К нижним концам нитей привяжем по одинаковому грузику. Придержим один грузик, а второй отведем в сторону до тех пор, пока он не станет параллелен стержню, после чего отпустим оба грузика. Вы, верно, думаете, что будет раскачиваться только тот маятник, на конце которого висит смещенный нами груз. Но это не так: колебательные движения постепенно будут переходить ко второму маятнику. Когда передача движения закончится и первый маятник остановится, начнется передача в обратном направлении. Таким образом, движение все время как бы перетекает от одного маятника к другому.
Рис. 1.41 / Задача 1.118. а) — г) Связанные маятники. д) — е) Нормальные моды.
Похожее поведение будут демонстрировать и другие системы, изображенные на рис. 1.41. На рис. 1.41б два маятника соединяются пружиной. В третьей системе (рис. 1.41в) маятники привязаны к узкой трубке, вращающейся вокруг горизонтальной струны, а сами маятники качаются в перпендикулярной по отношению к трубке плоскости. В четвертой системе (рис. 1.41 г) они качаются перпендикулярно соединяющей их короткой струне.
Возможно, вы удивитесь, но обмен колебаниями можно увидеть и у двух одинаковых компасов. Положите один из них на стол, а другой сначала потрясите, чтобы стрелка начала колебаться, и положите рядом с первым. Колебания будут переходить от стрелки одного компаса к стрелке другого.
Как объяснить такое поведение маятников?
ОТВЕТ • Рассмотрим только первую систему связанных маятников. Передача движения возникает из-за перекачки энергии, когда маятники тянут и толкают друг друга посредством стержня. Никакой передачи энергии не будет, только если вы раскачаете маятники одним из двух особых способов, при которых возникнут колебания, называемые нормальными модами. В одной такой моде маятники двигаются в фазе (рис. 1.41д); в движении участвует полная длина обеих нитей, и колебания имеют низкую частоту. Во второй нормальной моде маятники колеблются в точности в противофазе (рис. 1.41е). Движение в противоположных направлениях мешает участвовать в движении верхним — расположенным выше стержня — отрезкам нити, так что фактическая длина маятника меньше, чем в первой нормальной моде, и частота колебаний выше.
Если вы запускаете только один маятник, в системе возбуждаются обе моды и начинают конкурировать друг с другом. И тогда маятники колеблются с частотой, средней между частотами двух нормальных мод. Их амплитуда (размах каждого колебания) меняется с частотой, равной разности частот двух мод. Когда амплитуда одного маятника уменьшается, амплитуда другого увеличивается, и наоборот.
Аналогичный обмен движением происходит и в компасах, поскольку их стрелки колеблются относительно направления магнитного поля в точности так же, как маятники колеблются вокруг направления силы тяжести.
1.119. Пружинный маятник
Подвесьте достаточно жесткую пружину за один конец, а к другому прикрепите грузик такого веса, чтобы пружина растянулась на треть и ее длина составила 4/3 от первоначальной. Потяните грузик вниз, а потом отпустите его. Сначала он будет колебаться в вертикальном направлении (рис. 1.42а), но вскоре эти колебания начнут превращаться в маятниковые (рис. 1.42б). Как только вертикальные колебания совсем прекратятся, маятниковое движение начнет затухать и опять появятся колебания грузика вдоль вертикали. Так и будет продолжаться: движение периодически будет меняться с одного вида (моды) на другой и обратно. Можно привести маятник в двухмодовый режим, если раскачать сначала не вертикальные колебания, а маятниковые.
Рис. 1.42 / Задача 1.119. Чередование: а) вертикальных колебаний пружины и б) маятниковых колебаний. в) Чередование колебаний маятника и вертикальных колебаний соединяющего маятники упругого стержня. г) Чередование колебаний маятника А и Б.
Аналогичное чередование мод происходит в системе, изображенной на рис. 1.42в, в которой маятники соединены гибким стержнем. Стержень колеблется с частотой, удвоенной по сравнению с той, с которой колебался бы каждый из маятников, будь он свободным. В этом примере энергия переходит от колебаний маятников к колебаниям стержня.
