Ознакомительная версия. Доступно 22 страниц из 110
парадоксы были настолько травмоопасными, что Аристотель решил изгнать идею «полной» бесконечности из греческой мысли – и задал направление всей философии на ближайшие 2000 лет.
Последовавшая реабилитация бесконечности опирается на другой парадокс, сформулированный в 1638 году Галилеем. Рассмотрим все целые числа: 1, 2, 3, 4 и так далее, – предлагает Галилей. Теперь рассмотрим только квадраты: 1, 4, 9, 16 и так далее. Целых чисел, конечно, больше, чем квадратов, поскольку квадраты – лишь часть целых чисел, причем малая. Однако, замечает Галилей, есть способ сопоставить квадраты с целыми числами: 1 с 1, 2 с 4, 3 с 9, 4 с 16 и так далее. Когда таким образом создают два соотносящихся конечных множества – каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества и наоборот, – чтобы понять, что они одинакового размера, не обязательно проделывать утомительные подсчеты. Однако, распространив этот принцип на бесконечные множества, Галилей обнаружил, что тяготеет к выводу, что квадратов столько же, сколько целых чисел, и точка. То есть часть равна целому – мысль, которая самому Галилею показалась нелепой.
Два с половиной века спустя Георг Кантор положил парадокс Галилея в основу математической теории бесконечности. Кантор (1845–1918) – немецкий математик, родившийся в России и отличавшийся художественными наклонностями и обостренным интересом к богословию. Он понял, что крах привычной логики части и целого дает новое определение бесконечности, которое не опирается на смутное представление о чем-то беспредельном. Бесконечное множество, как описывал его Кантор, это множество того же размера, что и некоторые его части. Иначе говоря, бесконечное множество – это множество, которое может потерять некоторые элементы, но от этого не уменьшается.
Теперь у Кантора появилась возможность задать новаторский вопрос: все ли бесконечности равны или некоторые равнее других?
Кантор стал искать бесконечность больше, чем целые числа, и начал с рассмотрения множества дробей. Казалось бы, это был верный кандидат, поскольку дроби организованы на числовой прямой очень плотно: между каждыми двумя целыми числами бесконечно много дробей (например, между 0 и 1 лежат /2, 11/3, 1/4, 1/5 и так далее). Однако Кантор, к своему удивлению, быстро нашел простой способ однозначно сопоставить целые числа и дроби. Несмотря на первоначальное впечатление, эти две бесконечности оказались одинаковыми. Возможно, подумал ученый, все бесконечные множества одинаковой величины просто потому, что они неисчерпаемы. Но затем он рассмотрел множество вещественных чисел, тех самых, которые отмечают точки на непрерывной прямой. Удастся ли и их однозначно сопоставить с целыми числами? Кантор разработал непревзойденно хитроумное доказательство, так называемый диагональный способ, и доказал, что ответ отрицательный. Иначе говоря, есть по крайней мере две разные бесконечности, бесконечность целых чисел и бесконечность континуума, и вторая больше первой.
Но это был еще не конец. Кантор стал искать все более крупные бесконечности и обратился к пространствам высших размерностей. Ведь на двумерной плоскости, рассудил он, точек наверняка больше, чем на одномерной линии. Года два он пытался доказать, что точки на плоскости нельзя однозначно сопоставить с точками на линии – и все это увенчалось тем, что в 1878 году он обнаружил, что на самом деле такое соответствие возможно. Простой трюк показал, что на отрезке длиной в дюйм точек ровно столько же, сколько во всем пространстве. «Я это вижу, но не верю своим глазам!» – писал Кантор коллеге.
После открытия, что ни размер, ни размерность не делают бесконечность больше, поиски забуксовали. Но через десять лет упорного труда (с перерывом на лечение в санатории после нервного срыва) Кантор вывел новый фундаментальный принцип, который позволил ему продолжить восхождение: множеств вещей всегда больше, чем самих вещей. В конечном мире это довольно очевидно. Если у вас, скажем, три предмета, из них можно составить восемь разных множеств (в том числе, естественно, пустое). Гениальность Кантора состояла в том, что он обобщил этот принцип на царство бесконечного.
Чтобы все стало чуть менее абстрактным, давайте представим себе, будто мы живем в мире, где бесконечно много людей. Теперь рассмотрим все возможные клубы (множества людей), которые могут существовать в таком мире. Самый неэксклюзивный из этих клубов – универсальный клуб, в который входят абсолютно все до единого. Самый эксклюзивный – нулевой клуб, в котором нет ни одного члена. Между этими крайностями лежит бесконечное множество других клубов – в одних членов очень много, в других всего несколько. Насколько велика эта бесконечность? Есть ли способ однозначно сопоставить людей и клубы, показав тем самым, что два бесконечных набора на самом деле одного размера? Предположим, каждого человека можно сопоставить с одним и только одним клубом и наоборот. Одни люди окажутся членами клубов, с которыми сопоставлены (например, человек, сопоставленный с универсальным клубом). Другие по чистой случайности не будут членами клуба, с которыми ассоциированы (например, человек, сопоставленный с нулевым клубом). Эти люди войдут в клуб, который можно назвать «Граучо-клубом». Граучо-клуб – это своего рода общество изгоев: он состоит из людей, сопоставленных с клубами, в которые их не приняли. Поэтому человек, сопоставленный с нулевым клубом, в который он, естественно, не входит, может утешиться, что его приняли хотя бы в Граучо-клуб.
Тут все принимает интересный оборот. Поскольку считается, что каждому человеку соответствует какой-то клуб и наоборот, должен быть кто-то, кто сопоставлен с самим Граучо-клубом. Назовем его Вуди. Он член Граучо-клуба или нет? Ну, предположим, да. Это значит, что по определению его надо исключить из клуба, с которым он сопоставлен. Следовательно, Вуди – не член Граучо-клуба. Но если он не член Граучо-клуба, значит, поскольку клуб, с которым он сопоставлен, его не принял, Вуди – член Граучо-клуба. С какой стороны ни посмотри, везде противоречие. Как мы зашли в этот тупик? Все из-за предположения, что людей можно однозначно сопоставить с клубами. Следовательно, это предположение ложно. Тем самым установлено, что бесконечность из множеств вещей больше, чем бесконечность самих вещей.
Красота этого принципа, который известен как теорема Кантора, состоит в том, что его можно применять много раз подряд. Если дано любое бесконечное множество, всегда можно создать бесконечность еще больше, рассмотрев его показательное множество – множество всех подмножеств, которые можно из него создать.
Кантор возвел поверх простого reductio ad absurdum нескончаемую башню бесконечностей. Это было как сон, что-то вроде «Кубла-хана» Кольриджа. Но математики обнаружили в этой новой теории ресурсы, необходимые, чтобы подвести под свой предмет надежный фундамент. «Никто не изгонит нас из рая, который создал нам Кантор», – провозгласил великий (и влиятельный) математик Давид Гильберт. Однако некоторые математики
Ознакомительная версия. Доступно 22 страниц из 110
