Ознакомительная версия. Доступно 10 страниц из 49
Гильберт изгоняет геометрическое восприятие
Еще до 1900 г. Гильберт показал изумленному научному миру, как именно удается математике стать повелительницей реальности.
Книга по геометрии, которую Евклид написал в III в. до н. э., во времена Гильберта все еще оставалась учебником для высшей школы, и до конца XIX столетия все ученые были убеждены в том, что, говоря о «точках», «отрезках», «окружностях», «треугольниках» или «квадратах», они имеют в виду нечто раз и навсегда устоявшееся и установленное. Есть и инструмент, с помощью которого можно конструировать и строить эти предметы, а именно циркуль и линейка. Если в плоскости чертежа находятся две удаленные друг от друга точки, то надо приложить к ним линейку и провести прямую, которой будут принадлежать обе точки. Ясно также, как надо установить циркуль в одну из точек, раскрыть его так, чтобы его вторая ножка достигла второй точки, а затем провести окружность, центр которой расположен в первой точке, а сама окружность проходит через вторую точку.
Но как, имея данную окружность, построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого была бы равна площади этого круга? Это знаменитый вопрос о «квадратуре круга», который в наше время воспринимают как метафору.
Гильберт «разрешает» квадратуру круга, при этом рассматривая проблему с двух точек зрения, и прежде всего — с точки зрения вспомогательных средств, имеющихся в нашем распоряжении. Здесь Гильберт мог опереться на работу своего бывшего учителя, профессора Кенигсбергского университета, перебравшегося позднее, в 1893 г., в Мюнхен, Фердинанда фон Линдемана, который раз и навсегда доказал: никогда не удастся с помощью циркуля и линейки разрешить проблему квадратуры круга.
Тем не менее утверждение фон Линдемана, несмотря на негативное выражение, ни в коей мере не противоречит лозунгу Гильберта о том, что математика не приемлет «ignorabimus». Это утверждение сообщает нам некоторое знание, а именно знание о том, что невозможно ни в коем случае. Так же невозможно, как, допустим, назвать 5 четным числом.
Кроме того, Гильберт рассматривает квадратуру круга с точки зрения объектов «круг» и «квадрат» как таковых. При таком подходе можно говорить о том, что для каждого круга существует квадрат равной ему площади. Еще в 1685 г. польский математик Адам Коханский изобрел изящное построение с помощью циркуля и линейки; Коханскому удалось построить на круге почти равный ему по площади квадрат. Толщина карандашной линии, шероховатость бумаги и несовершенство человеческого органа зрения не позволяли заметить разницу в площадях, настолько приблизился Коханский своим построением к идеалу. Приблизился почти вплотную. Пусть даже ему и не удалось в точности воспроизвести такой квадрат, все же в мыслях он существует.
Это была решающая идея, запавшая в душу Гильберта: геометрические объекты присутствуют не в своей чувственно воспринимаемой форме — они становятся для нас явными только потому, что мы можем их себе помыслить. Чувственно воспринимаемое изображение на листе бумаги есть лишь наглядное отражение этого мысленного образа. Так же думал когда-то Платон: не построенный на бумаге, а созданный в мыслях треугольник является по-настоящему «истинным», ибо только воображаемый умом треугольник может соответствовать своему идеалу.
Именно поэтому две не являющиеся параллельными прямые пересекаются даже в том случае, если точку пересечения не удается изобразить ввиду малости листа бумаги, на которую нанесены прямые. Мы в любом случае можем точно указать место точки их пересечения — только потому, что она существует в наших мыслях. Но что будет с параллельными прямыми? Можно ли говорить и в этом случае о точке пересечения? Очевидно, нет, потому что, если бы даже она и существовала, то находилась бы в бесконечности. Но допустимо ли представлять себе, что точка пересечения параллельных прямых находится в бесконечности? Как вообще помыслить себе бесконечность?
Размышления и вопросы такого рода заставили Гильберта систематически упорядочить законы геометрического мышления. Для этого он поступил приблизительно так же, как Евклид более чем за две тысячи лет до него: во главу угла своей геометрии Гильберт уложил «аксиомы», утверждения, которые надо принять безоговорочно для того, чтобы корректно заниматься геометрией. Первая из двадцати аксиом гласит: «Две не совпадающие между собой точки всегда определяют прямую», на которой они лежат. За первой следует вторая аксиома: «Любые две не совпадающие между собой точки прямой определяют эту прямую». В качестве третьей аксиомы Гильберт формулирует следующее утверждение: «На одной прямой всегда существуют по крайней мере две точки; на одной плоскости всегда существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой».
Каждую аксиому Гильберт иллюстрирует грубым эскизом, наглядно сообщающим содержание аксиомы, — некоторые из этих эскизов и утверждений настолько банальны, что вызывают искреннее удивление: зачем вообще упоминать о таких очевидных вещах? Ответ самого Гильберта гласит: нельзя соблазняться чувственным впечатлением! В геометрии, какой представлял ее себе Гильберт, явное, чувственное впечатление играет второстепенную, поясняющую, но ни в коем случае не определяющую роль. Утверждения геометрии можно считать доказанными только в тех случаях, когда доказательство опирается на двадцать упомянутых аксиом. Все остальное не считается доказательством.
«Но вы все же описываете точки, прямые и плоскости таковыми, какие они есть; почему они не имеют никакой ценности в ваших глазах?» — может спросить Гильберта скептически настроенный читатель.
«Это прекрасно, — ответил бы Гильберт, — что вы воспринимаете точки, прямые и плоскости именно так, как я их описываю в аксиомах. Но я не требую ни от кого, кто занимается геометрией, правильного “восприятия” того, о чем идет речь, когда говорят о точке, прямой или плоскости. Все эти представления можно выражать как угодно, словами самого экзотического языка. Другими словами, меня вообще не интересует сущность точек, линий и плоскостей — меня интересует, чтобы все, что называют точкой, прямой или плоскостью, подчинялось моим аксиомам. Этого вполне достаточно».
Составляя список из двадцати аксиом, Гильберт хотел достичь и достиг двоякой цели.
Во-первых, ему удалось доказать, что эта система аксиом обладает полнотой. Под этим словом имеется в виду, что все истинные утверждения геометрии можно вывести из двадцати аксиом Гильберта. Фактически в геометрии отсутствует «ignorabimus»: то, что можно познать, соответствует тому, что можно вывести из аксиом.
Во-вторых, Гильберту удалось доказать, что эта система аксиом непротиворечива. Действительно, для системы аксиом стало бы катастрофой, если бы какие-либо два утверждения, выведенные из этих аксиом, противоречили бы друг другу. Тогда 5 превратилось бы в четное число, а вся система рухнула бы как карточный домик.
Гильберт достиг обеих целей, так как смог доказать: его система геометрических аксиом полна и непротиворечива, потому что полон и непротиворечив счет с помощью чисел с бесконечным десятичным представлением.
Ознакомительная версия. Доступно 10 страниц из 49
