Ветер выталкивает капли дождя выше точки замерзания, где они начинают вращаться, замерзают и увеличиваются в размерах, пока не станут достаточно тяжелыми и не начнут выпадать на землю в виде града.
Рис. 5.7. Визуальное отображение числовых закономерностей
Рис. 5.8. Количество шагов, за которое последовательность приходит к единице
Одна из учениц Нины, Джоди, в течение года по состоянию здоровья часто пропускала занятия и не могла выполнять домашнюю работу. Она никогда не любила математику, но была очарована задачей о числах-градинах. Однажды Нина заметила, что карманы Джоди, вышедшей на прогулку, набиты небольшими листками бумаги. Несколько недель карманы все увеличивались, пока листки не начали выпадать.
Наконец Нина спросила у нее, что это такое. Джоди запустила руку в карман и вручила Нине листки с каракулями, где она пыталась изобразить разные графики последовательностей. Неделями девочка старательно работала над гипотезой Коллатца, проверяя одну последовательность за другой. Нина задумалась и поделилась своими мыслями со мной.
Джо, она знает эту последовательность и чертовски этим гордится. Я сказала ей: «Мне неважно, будешь ли ты весь год выполнять домашние задания. (Усмехается.) Просто продолжай работать над последовательностью чисел-градин».
Многие ребята говорили: «Ничего себе! Каждый раз, когда мы доходим до 16, последовательность повторяется». Я им: «Правда?»
Джоди чувствовала, что достигла успеха, — возможно, первый раз за все время изучения математики, так что спасибо тебе за это.
То, насколько вредит нашей системе образования упор на запоминание в ущерб концептуальному обучению, было прямо показано в недавнем тесте, проведенном командой Международной программы по оценке образовательных достижений учащихся (Programme for International Student Assessment, PISA). Данную программу курирует Организация экономического сотрудничества и развития (Organisation for Economic Co-operation and Development, OECD), расположенная в Париже. Программа представляет собой тест на проверку грамотности и умение применять полученные знания на практике; он проводится по всему миру каждые три года среди подростков 15 лет. Команда PISA пригласила меня в Париж, чтобы помочь им провести тест.
Как только я расположилась за столом в их офисе, мне сразу задали вопрос: «Что у американцев не так с числом π?» Они имели в виду тот факт, что американские ученики отвратительно справлялись со всеми задачами, связанными с числом π (отношение длины окружности к ее диаметру, иррациональное число, которое начинается с 3,14), — их показатели были чуть ли не худшими в мире. На этот вопрос у меня был ответ.
Переехав из Великобритании в США, я отмечала кое-что любопытное в изучении числа π. В США детей учат запоминать как можно больше цифр после запятой. Число π обычно сокращается до 3,14, но после запятой эта последовательность уходит в бесконечность. Это наводит американских школьников на мысль, будто число π «длится целую вечность», что заслоняет его реальное значение как отношение длины окружности к ее диаметру. На самом деле выраженное этим числом соотношение — динамичное и захватывающее, потому что размер окружности не имеет значения, а отношение длины окружности к ее диаметру всегда одинаковое.
Не так давно я попросила учителей задать ученикам вопрос, что означает число π, и посмотреть, что будет. Конечно же, все назвали его очень длинным, но никто не упомянул про отношение длины окружности к ее диаметру. Неудивительно, что в ходе теста PISA ученики плохо справлялись со всеми задачами, где фигурировала окружность. Нет ничего плохого в том, чтобы поиграть с числом π и позволить ученикам запоминать цифры после запятой (или съесть π-рожок, что тоже неплохо). Но все подобные действия необходимо сопровождать более глубоким изучением окружности и отношения ее длины к диаметру.
В 2012 году команда PISA исследовала не только успеваемость учеников, но и их подход к учебе. В дополнение к математическим задачам исследователи выдали школьникам анкету, где те должны были описать, как они учатся. Полученные ответы разделили на три категории. Подход, основанный на запоминании, использовали те ученики, которые старались заучивать наизусть все, что им давали. При реляционном подходе ученики пытались соотнести новые идеи с уже известными им. И наконец, подход, основанный на самодисциплине, предполагал, что ученики сами оценивали то, что знали, и осваивали то, что им нужно.
В любой стране самыми отстающими были ученики, усваивающие новое через зазубривание, а страны, где таких учеников было много, — и США в их числе — в целом имели самые низкие показатели[133]. Например, французские и японские школьники, которые совмещали реляционный подход и самодисциплину, более чем на год опережали тех, кто налегал на зубрежку. Исследование показало, что это не приводит к высоким результатам, в отличие от размышлений о концепциях и их взаимосвязях.
Как показывает этот тест, преподавание математики в США находится в кризисе. Математика — прекрасный предмет, полный логических взаимосвязей, ее следует изучать концептуально и творчески. Однако в школах, где математику рассматривают как набор правил для запоминания, и ценятся те, кто может быстро выдать все, что успел запомнить; мыслящие медленно и глубоко дети теряют интерес к предмету. Даже сильные ученики многое недополучают от уроков математики.
