Глава 8.
Гармонические колебания
Закон сохранения энергии служит, чтобы пролить свет на те виды движения, которые мы еще не рассмотрели.
Рассмотренные до настоящего момента виды движений независимо от того, были ли они поступательными или вращательными, происходили (если их не нарушать) непрерывно и в одном направлении. Однако любое движение способно прогрессировать поочередно: сначала в одном, а затем — в другом направлении, изменяя свое направление иногда после долгого интервала времени, иногда после короткого, а иногда — даже очень короткого. Такое движение в противоположных направлениях называется «вибрацией» или «вибрационным движением» (от латинского слова, означающего «колебаться, дрожать»).
Этот тип движения весьма распространен, и мы его постоянно видим и чувствуем, например колебание или дрожание веток и листьев растений под воздействием ветра или быструю дрожь работающих машин, например автомобиля, работающего на холостых оборотах; даже стук наших зубов или тряска рук, когда мы дрожим от холода или возбуждения, являются примерами вибрационных колебаний.
Первой формой вибрации, которую подвергли научным исследованиям, было дрожание тугой струны. Такие струны использовались в музыкальных инструментах, известных даже древнейшим; струны издают музыкальные звуки благодаря тому, что вибрационные движения, которые передаются струнами непосредственно воздуху, порождают акустические колебания (см. главы 11, 12). Первым, кто начал изучать такие колебания, был древнегреческий математик и философ Пифагор Самосский (VI столетие до н.э.). Его интересы лежали полностью в изучении взаимоотношений этих колебаний и музыки, и как результат вибрационные колебания часто стали называть «гармоническими колебаниями».
Большинство вибрационных колебаний имеют сложную природу и нелегко поддаются математическому анализу. Однако специфический тип колебаний, иллюстрацией которого является вибрация тугой струны, является исключением. Он может быть проанализирован сравнительно легко, и поэтому такой тип колебаний называется «простым гармоническим колебанием» (иногда сокращенно называемым SHM).
Как было обнаружено, в простых гармонических колебаниях все стадии движения находятся под действием закона Гука. Если мы тянем тугую струну из ее первоначального равновесного положения, величина перемещения от равновесного положения пропорциональна силе, которая старается восстановить это положение равновесия. Если отпустить натянутую струну, то сила упругости ускоряет ее в направлении равновесного положения. Другими словами, струна прыгает назад к состоянию равновесия, перемещаясь все быстрее и быстрее по мере движения.
По мере приближения струны к равновесному положению ее смещение от этого положения становится все меньше и меньше, и сила упругости пропорционально уменьшается. Поскольку уменьшение силы упругости, естественно, создает ускорение, которое передает струне, то, хотя по мере приближения к положению равновесия струна двигается все более быстро, приращение скорости становится все меньше и меньше. Наконец, когда струна достигла равновесия, сила упругости стала равна нулю и ускорение — тоже. Струна больше не может развивать скорость, и амплитуда ее движения равна максимуму.
Но, несмотря на то что струна не получает приращения скорости, она перемещается быстро и поэтому не может остановиться в положении равновесия, а двигается мимо него. Только сила может остановить ее перемещение (первый закон Ньютона), а в положении равновесия не имеется никакой силы, чтобы это сделать. Но поскольку струна проходит мимо точки равновесия, ее перемещение вызывает возникновение силы упругости; эта сила производит ускорение, которое служит, чтобы уменьшить скорость движения струны (которая теперь двигается в направлении, противоположном действию силы). Так как струна продолжает двигаться, ее смещение и сила упругости продолжают увеличиваться, скорость уменьшается все быстрее и быстрее, пока не достигнет нуля. Струна теперь опять неподвижна в точке максимального смещения, которая является равной величине первоначального смещения (когда мы оттянули струну рукой).
Под влиянием силы упругости струна снова начинает двигаться в противоположную сторону, проходит через положение равновесия и из него — в первоначальное максимальное смещение. Оттуда она снова идет назад, затем — вперед и так далее.
Если бы не существовало никакого сопротивления воздуха и никакого трения в точках крепления струны, максимальные смещения струны влево и вправо были бы постоянными и одинаковыми и вибрация продолжалась бы неопределенно долго. Но описанные колебания в конце концов в значительной мере не достигают своего максимума и, наоборот, с каждым движением вправо (или влево) достигают точки смещения, не равной, а меньшей, чем та, что была достигнута при предыдущем движении в этом направлении. Колебания «заглушены» и медленно «затухают».
Во всех случаях простых гармонических колебаний принципиальным моментом является то, что изменения скорости всегда происходят гладко и плавно и никогда — резко. Вообразим себе падающее тело, проходящее через поверхность Земли и твердую материю планеты. Сила тяжести, приложенная к этому телу, непрерывно становится все больше с увеличением расстояния от поверхности планеты и все меньше с продвижением его под этой поверхностью. По мере падения тело ускоряется на все меньшую и меньшую величину. К тому времени, когда оно достигнет центра Земли, на него не будет действовать никакой силы, а его скорость будет максимальной. Тогда тело пройдет сквозь центр Земли и начнет перемещаться к противоположной части планеты; его скорость начнет уменьшаться, поскольку сила тяжести становится все больше и больше, пока тело не появится на противоположной поверхности Земли и не поднимется на такую же высоту, как это было вначале (с другой стороны). Но тогда оно бы повторило свое движение, возвращаясь к своей первоначальной позиции, оно бы начало движение в противоположном направлении и так далее. Такое воображаемое движение также являет собой пример простых гармонических колебаний.
В реальности, однако, движение падающего тела было бы прервано поверхностью Земли, и скорость его резко бы изменилась в момент контакта с этой поверхностью. Получившиеся в результате этого сильные удары — тоже пример вибраций или гармонических колебаний, но совсем не простых гармонических колебаний.
Период колебаний
Особый интерес при рассмотрении любых вибрационных колебаний представляет собой время, которое требуется телу, чтобы пройти расстояние от одной экстремальной точки к другой и назад. Время, которое потребуется для завершения этого движения (или любого другого подобного в этом отношении движения), называется «периодом» этого движения[29].
