Гипербола A1/A2 = k > 1
Парабола B1/B2 = 1
Эллипс C1/C2 = k < 1
Окружность Эксцентриситет=0
Конические сечения: семейство эксцентриков
А теперь представьте, что вы — астроном, а размещенный выше рисунок — модель Солнечной системы. Пусть F — это Солнце. Конические сечения с фокусом в точке F и есть совокупность всех возможных орбит небесных тел.
Планеты вращаются вокруг Солнца по эллипсам: у орбиты Земли эксцентриситет 0,0167, что очень близко к окружности. Чем быстрее объект перемещается по своей орбите, тем больше ее эксцентриситет. Например, орбитальная скорость кометы Галлея в два раза больше орбитальной скорости Земли. Орбита кометы напоминает доску для серфинга, на одном конце которой находится Солнце; именно поэтому на протяжении всех 75 лет, требующихся комете Галлея для прохождения орбиты, она находится слишком далеко, чтобы увидеть ее невооруженным глазом. Эксцентриситет орбиты кометы Галлея — 0,967, что близко к параболе. Когда эксцентриситет орбиты кометы равен 1, она представляет собой параболу, а это значит, что комета пройдет рядом с Солнцем только один раз за время своего существования, после чего покинет Солнечную систему навсегда. Если эксцентриситет орбиты кометы больше 1, эта орбита является гиперболой. Однако такие кометы — крайне редкие явления, а орбитальная скорость тех, которые обнаружены, незначительно превышает скорость, необходимую для того, чтобы отклониться от эллиптической орбиты. Комета C/1980 E1, замеченная в 1980 году, перемещается по орбите с эксцентриситетом 1,057 — это самый большой эксцентриситет из всех когда-либо зарегистрированных.
Представьте, что директриса и фокус F на рисунке зафиксированы. Посмотрим, что произойдет с коническими сечениями в случае изменения эксцентриситета. Когда он равен нулю, кривая представляет собой окружность с центром в фокусе F. Теперь медленно увеличим эксцентриситет от 0 до 1. Появляется эллипс, который становится все больше и больше. Поскольку точка F зафиксирована, другой фокус, обозначенный как f, начнет медленно смещаться вправо по мере увеличения эллипса. Как только эксцентриситет достигнет значения 1, эллипс превратится в параболу, а точка f станет бесконечно удаленной. Если сделать эксцентриситет больше 1, кривая превратится в гиперболу, а в левой части рисунка появится второй фокус f. По мере дальнейшего роста эксцентриситета все полученные кривые будут гиперболами, а фокус f будет смещаться все дальше вправо. В своем труде The Optical Part of Astronomy («Оптика в астрономии») Иоганн Кеплер впервые высказал идею о том, что конические сечения могут превращаться друг в друга так, как это показано выше. Подобно многим другим идеям Кеплера, эта имела переломное значение, поскольку позволила по-новому взглянуть на две концепции, над которыми веками бились философы: непрерывность и бесконечность. Это был важный шаг на пути к новому способу выполнения математических вычислений. Мы вернемся к великому немцу и его пониманию данных концепций чуть позже, при обсуждении исчислений бесконечно малых величин.
Конические сечения — одно из величайших наследий древнегреческой математики: простые в описании, поддающиеся наблюдению повсюду, они положены в основу прекрасных теорий и нашли неподвластное времени применение во многих областях. Возможно, у вас создалось впечатление, что окружность — наименее интересная разновидность эллипса. Но это далеко не так. Окружность сама по себе заслуживает отдельной главы.
5. Движение по замкнутому кругу Автор исследует вращение: крутит колесо, качает маятник, приводит в движение пружину и ударяет по камертону
Окружность, простейшая из всех двумерных фигур, представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от центра. Она — воплощение геометрического совершенства: сглаженная со всех сторон, гармоничная и симметричная. Однако если мы разделим расстояние вокруг окружности (длину окружности) на расстояние поперек окружности (длину диаметра), то получим нечто поразительное:
3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208…
Это число, равное отношению длины окружности к ее диаметру, является постоянной величиной для всех окружностей, а его десятичные цифры образуют бесконечный ряд без какой-либо закономерности. В XIX веке это число получило собственное имя — «пи», а также символ — π и стало межкультурной иконой, самой знаменитой константой в науке и метафорой для обозначения непостижимости Вселенной. Все изучают его в школе, а для многих это единственное, что они помнят из математики.
Но вот что я вам скажу.
Пи — неправильное число.
Безусловно, оно рассчитано верно. Очевидно, что отношение длины окружности к длине ее диаметра — это и есть представленное выше число, которое начинается с 3,14. Пи — неправильное число потому, что оно совершенно не подходит для описания окружности. Пи — это самозванец, ложный идол, не заслуживающий международного признания.
Во всяком случае, так считал американский математик Боб Пале в 2001 году[91]. Он заявил, что куда более подходящей константой для описания окружности было бы отношение длины окружности к радиусу, поскольку радиус, или расстояние от центра окружности до любой ее точки, — гораздо более фундаментальная концепция, чем диаметр. Многие с ним согласны, в том числе и я[92]. Посмотрите на определение окружности. Окружность — это фигура, образованная путем вращения фиксированного отрезка (радиуса) вокруг центра. Диаметр — это производная концепция. Математике свойственно неизменное стремление к элегантности, ясности и корректности, именно поэтому так неуместно то, что самое знаменитое число в математике не отражает истину об окружностях самым понятным, изящным и корректным способом. (В школе нам объясняют, что такое диаметр, исключительно для того, чтобы мы поняли концепцию числа π, однако, усвоив ее, мы больше не возвращаемся к диаметру. Математики считают само собой разумеющимся, что диаметр — это радиус, умноженный на два.)
