3.20. Математика скрывается в людях, родившихся в один день
Математическое понятие: теория вероятности
Иногда математика показывает аспекты мира, которые кажутся невозможными, но которые тем не менее являются правдой. Рассмотрим, например, парадокс дней рождения. В любой группе людей какова вероятность того, что у двух из них день рождения в один день? Вероятность, на первый взгляд, не так уж и высока, так как в году 365 дней. Кажется, что вероятность, что в какой-нибудь случайной группе людей двое из них родились в один день, невероятно мала.
А все же это не так. Шанс, что два человека из группы делят один день рождения намного выше, чем вы думаете. На самом деле, в группе, состоящей из 23 человек, вероятность составляет 50 %. Как такое возможно? В конце концов, если вы являетесь членом этой группы, остается 22 человека, которые могли родиться с вами в один день, так что существуют только 22 вероятности совпадения. Это число совсем не впечатляет. Но помните, что вы не сравниваете свой день рождения со всеми. Каждый человек сравнивает дни рождения друг с другом! Итак, помимо 22 сравнений с вашей датой рождения, существует и множество других.
Чтобы увидеть, как такое возможно, представьте всех 23 человек в виде точек, выстроенных в линию. (Если хотите, возьмите лист бумаги и карандаш, чтобы нарисовать их.) Для сравнения дня рождения человека № 1 начертите линии от первой точки до всех остальных. Теперь сделайте то же самое для человека № 2. Заметьте, что линия между человеком № 2 и человеком № 1 такая же, какую вы уже нарисовали от человека №#1 до человека № 2 в первый раз сопоставлений. Так как мы не хотим повторять эти сравнения, число сравнений для человека № 2 на один меньше, чем у человека № 1, то есть 21. Процесс продолжается: для человека № 3 число сравнений равно 20. Общее число сравнений в этом случае равно не 22, а 22 + 21 + 20 + 19 …, и в конце концов выходит 253.
Теперь мы подошли к принципу, который часто используется в математическом мышлении; а именно, чтобы установить истинность, нужно доказать, что обратное является ложью. Итак, как мы можем вычислить вероятность того, что у двух человек из 23 день рождения в один день? Итак, помните, что дата рождения человека имеет 365 возможных вариантов (исключаем 29 февраля, которое появляется на календарях в високосный год). Тогда вероятность совпадения дат рождения составляет 364/365, так как существуют 364 возможных дат, которые будут отличаться от изначальной даты. В итоге получается 99,726027 % вероятность, что любые два человека рождены в разные дни.
Теперь давайте применим это мышление к группе из 23 человек. Каждое сравнение имеет 99,726027 % вероятность несовпадения. Не забывайте, что в нашей группе существуют 253 возможных сравнения, тогда общая вероятность того, что никакие два человека не родились в один день, составляет 99,726027 % × 99,726027 % × 99,726027 % × …, и так 253 раза. (Мы можем написать эти расчеты сокращенно, как 99,726027253). Конечная вероятность равна 49,952 %. Если такова вероятность, что два человека не делят одну дату рождения, то вероятность того, что два человека родились в один день, составляет 50,048 %.
Поэтому в следующий раз, когда окажетесь в большой компании людей, спросите их даты рождения и посмотрите, что произойдет!
16 сентября
Согласно Мэтту Стайлсу, журналисту из National Public Radio, 16 сентября – самый популярный день рождения среди американцев в возрасте 14–40 лет. Он определил, что сентябрь и июль – наиболее распространенные месяцы рождения. Самым редким днем рождения стало 29 февраля, а потом 25 декабря.
3.21. Колокольный звон и математика
Математическое понятие: перестановка
При звоне колоколов на ум нам приходят религиозные службы, университетские городки, средневековые городские площади и, возможно, многолетняя рождественская реклама конфет Hershey’s Kisses. Но иногда звон колоколов имеет глубокую связь с математикой, особенно с перестановкой (расстановка определенного набора объектов, когда важен порядок каждого расположения).
Вид колокольного звона, который построен на математике, называется колокольным перезвоном, он требует командной деятельности, то есть в группе людей каждый отвечает за один конкретный колокол (количество колоколов обычно варьируется между 6 и 8, но может доходить и до 16). Такой звон колоколов вы могли слышать в фильмах после большой свадьбы или коронации короля. Обычно колокол с самым высоким звуком называется дискантом/малым колоколом, а с низким – большим колоколом. В любой группе малому колоколу присваивается номер 1, каждому последующему – следующая цифра. (Если всего 4 колокола, то большой колокол будет номером 4.)
В колокольном перезвоне в колокола звонят в определенном порядке так, чтобы ни один колокол не звонил дважды за один перезвон. С каждым перезвоном позиция одного колокола может меняться только на одну позицию. Так что звонари могут начать звонить в колокола в следующем порядке: 1, 2, 3, 4. Потом они могут звонить 2, 1, 4, 3, а потом 2, 4, 1, 3. Кроме того, каждый перезвон не должен повторяться. В конце звонарь возвращается к порядку 1, 2, 3, 4. Если вы живете в Северной Америке или хотите послушать колокольный перезвон своими ушами, зайдите на сайт североамериканской гильдии звонарей www.nagcr.org.
Карильон
Колокольный перезвон отличается от других видов колокольного звона, таких, как игра на карильоне, где музыкант сидит на стуле или скамье и нажимает на ряд рычагов, которые напоминают пианино. Самый большой карильон, состоящий из 77 колоколов, находится в пресвитерианской церкви Хиллз в Мичигане.
3.22. Байесовская статистика
Математическое понятие: байесовская вероятность
Если вы попросите студента назвать самый унылый, самый скучный, лишенный каких-либо компенсирующих качеств раздел математики, то он вполне может выбрать статистику. Одно лишь это слово вызывает в воображении образы калькуляторов и таблиц со сплошными числами. По крайней мере, такие образы вызывает стереотип.
А что, если я вам скажу, что статистика далеко не такая удручающая, как вы думаете?
Одним из способов убедить вас в этом будет рассказать о байесовской статистике, дисциплине, введенной Томасом Байесом, пресвитерианским священником, который жил в Англии в 1700-х. Тот вид статистики, с которым вы, возможно, знакомы, относится к частотной статистике. Если бы вы играли в блек-джек и вам бы выпали король и девятка, вы могли бы воспользоваться частотной статистикой и определить ваши шансы на блэк-джек при следующей раздаче карт.
