То, что срабатывает для 1, также будет срабатывать для всех остальных чисел. По существу, выполнение 8 совершенных тасовок соответствует умножению номеров карт на 28 = 256. Можно понять, что данная операция означает умножение номера на 1, то есть карта остается на своем месте.
Подсказка для покера
В популярной версии покера, называемой «техасский холдем», каждому игроку раздаются по две карты картинками вниз. Затем дилер поочередно выкладывает пять карт на стол картинками вверх. Вы должны собрать как можно лучшую комбинацию из пяти карт, выбирая из двух имеющихся у вас и пяти на столе, которая превзошла бы комбинации соперников. Если вам достались две последовательные карты (скажем, 7 треф и 8 пик), вы можете войти в азарт из-за возможности стрита (пяти последовательных карт любых мастей, например 6, 7, 8, 9, 10).
Стрит – весьма сильная комбинация. Поскольку ее вероятность довольно низка, вы можете счесть, что наличие у вас двух последовательных карт – достаточное основание для повышения ставок, потому что вы находитесь на пути к стриту. И вот сейчас вам надлежит вспомнить лотерейную подсказку. Два последовательных числа довольно часто выпадают в лотерее, то же относится и к покеру. Знаете ли вы, что в 15 % раздач техасского холдема имеются две последовательные карты? Однако чуть меньше трети из них дойдут до стрита, когда дилер выложит пять карт на столе.
Математический вопрос, который восходит к работе Гаусса двухсотлетней давности, состоит в следующем: существует ли бесконечно много чисел N, обладающих тем свойством, что колода из 2N карт на самом деле требует полного числа совершенных тасовок? Этот вопрос, как оказывается, связан с гипотезой Римана, задачей на миллион долларов о простых числах, завершающей главу 1. Если простые числа распределены так, как предсказывает гипотеза Римана, то будет бесконечное число колод карт, требующих максимального числа совершенных тасовок. Разумеется, нельзя сказать, что The Magic Circle[9] и картежники по всему миру затаили дыхание в ожидании ответа. Но математикам любопытно знать, как простые числа могут быть связаны с вопросами тасовки карт. Не окажется удивительным, будь они связаны, – простые числа настолько фундаментальны в математике, что появляются в самых странных местах.
Математика в казино: удвоить или обанкротиться?
Вы в казино у колеса рулетки, и у вас 20 фишек. Вы решили, что попытаетесь удвоить свои деньги, прежде чем уйдете. Если вы поставите фишку на красное или черное, то удвоите ее, если угадаете правильно. Так в чем же состоит правильная стратегия – поставить все свои деньги на красное одним махом или же ставить поочередно одну фишку за другой, пока вы либо не проиграете свои деньги, либо получите 40 фишек?
Прежде чем анализировать эту задачу, вы должны уяснить, что каждый раз, когда делаете ставку, вы, по существу, платите казино небольшой взнос за игру. Это станет понятно, когда вы усредните данные по всем своим выигрышам и проигрышам. Если вы ставите на 17 черное и выпадает это число, то казино возвращает вам вашу фишку и дает в придачу 35. Если бы на колесе рулетки было 36 чисел, то игра была бы справедливой, поскольку 17 черное в среднем выпадало бы один раз из 36. Так что, будь у вас 36 фишек и продолжай вы ставить на 17, то за 36 вращений колеса вы в среднем проигрываете 35 раз и один раз выигрываете, в результате вы остаетесь с теми же 36 фишками, с которыми начали игру. Но на самом деле на европейской рулетке 37 чисел, на которые можно делать ставки (от 1 до 36 и 0, который ни черный, ни красный), но казино платит вам выигрыш, как будто на колесе 36 чисел.
Поскольку на колесе 37 чисел, каждый раз, когда вы ставите £ 1, казино зарабатывает 1/37 × £ 1, что приблизительно составляет 2,7 пенса. Время от времени казино приходится делать большие выплаты какому-то игроку, но в конечном счете оно будет зарабатывать деньги благодаря законам вероятности. А в США шансы игроков еще более неблагоприятны, поскольку там на колесе рулетки 38 чисел: от 1 до 36, а также 0 и 00. Мы уже видели, что ставка на одно число обходится вам в конечном счете в 2,7 пенса. Но вы не обязаны ставить на одно число: вы можете, например, делать ставки, что число будет красное или черное, четное или нечетное, или в диапазоне от 1 до 12. Ваши шансы можно рассчитать таким же способом: по существу, какую бы ставку вы ни делали, она обойдется вам в 2,7 пенса за вложенный £ 1.
