ЧТОБЫ ПОНЯТЬ, КАК РАБОТАЕТ ВЕРОЯТНОСТЬ, НАДО СНАЧАЛА ПОНЯТЬ, ЧТО ТАКОЕ СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ, А ИНТУИТИВНО ЭТО НЕПОНЯТНО.
Многие люди думают, что они могут влиять на случайность каким-то образом. У меня есть товарищ, который думает, что чаще других выбрасывает шестёрки на кубиках. Если с таким подходом браться за освоение теорвера, будет беда.
9.3
История становления
Первые задачи вероятностного характера возникли в азартных играх — в кости, в карты, в расшибалочку. Французский священник 13-го века Ришар де Фурниваль подсчитал все возможные суммы очков после броска трёх костей — кому как не священнику играть в кости — и указал число способов, которыми может получиться каждая из этих сумм. Это число можно рассматривать как первую вычислимую меру ожидаемости события — по-нашему, как раз вероятности. До Фурниваля, да и после него тоже, эту меру часто подсчитывали неверно, указывая, например, что суммы в 3 и 4 очка равновероятны. Ведь оба могут получиться как бы «только одним способом»: по результатам броска «три единицы» и «двойка с двумя единицами» соответственно. Де Фурниваль не догонял, что хотя три единицы и в самом деле получаются только одним способом: 1+1+1, двойку с двумя единицами можно выкинуть целыми тремя способами: 1+1+2, 1+2+1 и 2+1+1, так что эти события вовсе не равновероятны. Сумма в четыре очка выпадает в три раза чаще, хотя это тоже случается редко, в среднем лишь каждый 72-й бросок. Аналогичные ошибки неоднократно встречались и в дальнейшей истории.
Экстравагантный математик 16-го века Джероламо Кардано прославился тем, что вылечился от импотенции, после чего родил троих детей. Сильно впечатлился, стал и сам врачевать, а так как человеком был умным и странным, лечил он хорошо и нажил себе множество недругов. Его сын тоже прославился, так как дико отравил свою жену, из-за чего папаша окончательно свихнулся, составил гороскоп Иисуса Христа и попал в застенки инквизиции. Посвятил анализу игры содержательную книженцию «Книга об игре в кости» (1526 год, опубликована посмертно).
Кардано провёл уже безошибочный анализ для значений суммы очков трёх костей и указал для разных событий ожидаемое значение доли «благоприятных» событий: например, при бросании 3 кубиков доля случаев, когда значения всех трёх совпадают, равна 6/216 или 1/36. Вроде бы и очевидно, что их всего шесть — три единицы, три двойки, ну и так далее, всего 6 граней, но до этого (да и после) какие-то были проблемы у людей с этой концепцией.
Именно Джероламо Кардано предложил формулировку вероятности — что это число благоприятных исходов, делённое на число всех возможных исходов. Кардано сделал ещё одно весьма проницательное замечание: при небольшом числе игр реальное количество исследуемых событий может сильно отличаться от теоретического, но чем больше игр в серии, тем это различие меньше. По существу, Кардано вплотную подошёл к понятию вероятности и заявил о законе больших чисел.
Голландец Кристиан Гюйгенс[27] был довольно продвинутый чел: в 17-м веке знал 5 языков, играл на скрипке, лютне и клавесине, в 13 лет построил себе токарный станок. В 13 лет! У нас дети вон ходят на коньки или в бассейн, в лучшем случае — на изо, а Гюйгенс, он вот ходил в станкостроительный кружок.
Он ещё наловчился вырезать из стекла линзы и их тряпочкой шлифовать, после чего собрал окуляр для телескопа и обнаружил кольца Сатурна[28], изобрёл маятниковые часы и — внимание — диапроектор, чтобы дичайше смотреть «Ну, погоди!» на слайдах. Часы его конструкции были точны и недороги и быстро распространились по всему миру. Гюйгенс же и написал первую книгу о вероятности. Такой был замечательный голландец, ну вы понимаете, что ему там послужило вдохновением.
А дальше вот что происходит: развивается геодезия, астрономия и стрельба, например. И теория вероятностей начинает применяться в теории ошибок наблюдений, как ложатся пули вокруг мишени. И тут надо сказать про Лапласа, Пьера-Симона. Он опубликовал два закона распределения частотности ошибок, и второй из них называют гауссовым распределением. Дело в том, что большинство случайных величин из реальной жизни, таких, например, как ошибки измерений, стрельбы и прочего, могут быть представлены как анализ большого числа сравнительно малых ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Например, дрожанием руки — рука же каждый раз по-разному дёргается.
А второй закон Лапласа гласит, что частота ошибок — степенная функция от квадрата ошибки, что сейчас называется нормальным распределением, а кривая — гауссианой. Гаусс (кстати, Карл), конечно, тоже был очень развитым ребёнком, но в то время ему было 2 года от роду, и он пока плоховато ещё законы формулировал. Но он подрос и авторитетом задавил бедного Лапласа.
9.4
Независимость
Сейчас я хочу пробежаться по некоторым терминам — для кого-то это будет повторением, но всё равно не повредит. Вероятность чаще всего обозначается латинской буквой p (от слова probability). Это всегда число, которое лежит между нулём и единицей, ну или от нуля и до 100 процентов. «Про цент» — это по-латински «поделить на сто», поэтому 100 % и есть единица. Если вероятность события — 0, это значит, что оно не может произойти. Если вероятность равна 1, то оно обязательно произойдёт. В этом основная идея.
ОДИН ИЗ БАЗОВЫХ ПРИНЦИПОВ — ЭТО ИДЕЯ НЕЗАВИСИМОСТИ. ВЕРОЯТНОСТЬ ОБОЗНАЧАЕТ ШАНСЫ НАСТУПЛЕНИЯ КАКОГО-ЛИБО СОБЫТИЯ.
Например, результата какого-либо эксперимента вроде броска монеты. Вероятность того, что если вы подбросите монету и она упадёт орлом, равна одной второй, потому что у неё одинаковые шансы упасть орлом или решкой. Независимые эксперименты — это такие эксперименты, которые происходят — сюрприз! — вне зависимости друг от друга. Если вы бросаете монету два раза, результат первого броска никак не влияет на результат второго, и тогда мы говорим, что это независимые величины. Между ними нет никакой связи.
Один из первых принципов даёт нам правило умножения: если у вас вероятности независимые, то вероятность сразу двух этих событий будет равна произведению их вероятностей. Это не сработает, если события как-то связаны. Страховка построена на том, что в идеале страховая компания продаёт полисы на независимые события (или страхует жизни независимых друг от друга людей). Поэтому лондонский пожар — плохой пример страхового случая. Если кто-то в квартире оступился, у него лампа упала на ковёр и подожгла шторы, а потом загорелась вся квартира, другие дома от этого не сгорят, они от этого неприятного происшествия никак не зависят.
