Поэта взор в возвышенном безумьеБлуждает между небом и землей.Когда творит воображенье формыНеведомых вещей, перо поэта,Их воплотив, воздушному «ничто»Дает и обиталище, и имя.Да, пылкая фантазия так частоИграет[32].
Чему равен квадратный корень из −1?
(Математика, Оксфорд)
Это, пожалуй, самый трудный вопрос в математике, над которым на протяжении тысячелетий бились практически все великие ученые. Впрочем, проблема заключается в поиске корня не только из –1, но и из любого отрицательного числа. Квадратный корень числа – это значение, которое при возведении в квадрат дает оригинальное число. Так, квадратный корень из 9 равен 3 (3 × 3 = 9), квадратный корень из 4 равен 2 (2 × 2 = 4), а квадратный корень из 1 равен 1 (1 × 1 = 1). Но это неприменимо к отрицательным числам, поскольку два отрицательных числа при умножении дают положительное: так, −2 × −2 = (+)4, а −1 × −1 = (+)1.
И как же тогда найти корень из отрицательного числа, например из –1? Дело в том, что никак, и математики называют такие значения мнимыми числами. С тем же успехом их можно было бы назвать нереальными, абсурдными или просто дурацкими числами, поскольку они, по-видимому, не существуют. Однако сейчас мы едва ли можем представить нашу жизнь без них. Они необходимы для передовой квантовой физики, они важны для проектирования подвесных мостов и крыльев самолетов. Они мнимые, поскольку не обозначают какое-либо существующее число, но они реальны, поскольку являются частью реального мира. Поэтому, как ни парадоксально, они одновременно воображаемые и настоящие, невозможные и возможные.
Данное противоречие обнаружили еще древние египтяне, а также один из величайших математиков Античности Герон Александрийский, который столкнулся с отрицательными числами около 2000 лет назад, когда пытался вычислить объем усеченной пирамиды. В расчетах ему понадобилось найти квадратный корень из 81–144 (то есть √−63). Поскольку получить корень из отрицательного числа не представлялось возможным, Герон просто поменял его на положительное и извлек корень из 63. Разумеется, античный ученый просто подогнал ответ под желаемый, но что ему оставалось делать? В те времена даже к отрицательным числам относились с крайней осторожностью, что там говорить о квадратных корнях из них!
Средневековые математики порой сталкивались с данной проблемой при решении кубических уравнений, но они просто рассматривали корни из отрицательных чисел как невозможные. Первым нарушил устоявшийся подход пользовавшийся (по-видимому) сомнительной репутацией у современников итальянский астролог Джероламо Кардано, и, пожалуй, именно такой человек идеально подходил для решения казавшихся невозможными задач. В конце жизни Кардано работал астрологом в Ватикане, но до этого, в 1545 году, он исследовал в своем трактате «Великое искусство» проблему корня из −1. Он утверждал, что подобное число возможно, хотя и счел его абсолютно бесполезным.
Рафаэль Бомбелли в своем изданном в 1572 году труде «Алгебра» отнесся более положительно к отрицательным числам. Бомбелли доказал, что произведение двух отрицательных чисел дает действительное число. Поначалу он счел свои выводы несколько сомнительными. «Данная проблема относится скорее к области софистики, – писал он. – Но я изучал ее очень долго, и мне удалось доказать, что мои результаты верны».
На протяжении двух последующих столетий различные ученые высказывали свое мнение относительно корней из отрицательных чисел, признавая или отвергая их существование. В итоге проблему удалось решить гениальному швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783) в поздние годы жизни. Он ввел «мнимую единицу», символ i. Символ i обозначает мнимое число, квадрат которого равен −1. Таким образом, i можно представить как √−1. Идея Эйлера предполагает, что квадратный корень любого отрицательного числа может использоваться в уравнении как число i, помноженное на квадратный корень числа. Он утверждал, что корни любых отрицательных чисел – √−1, √−2, √−3 и т. д. – являются мнимыми, но не бессмысленными: это просто их математическое наименование.
Символ i представлял собой простое, но гениальное решение, позволившее математикам наконец-то использовать √−1 и квадратные корни из других отрицательных чисел в уравнениях, выражая их с использованием i. Это означает, что математикам больше не приходилось рассматривать природу мнимых чисел: они могли просто использовать их в практических целях.
Однако парадокс так и не был решен. Эйлер, несмотря на то что его изобретение сделало мнимые числа реальными, сам признавал их нереальность, говоря: «Мы можем считать, что они не больше, чем ничто, и не меньше, чем ничто, что неизбежно делает их мнимыми или невозможными». Множество скептических отзывов не смущало Эйлера. По его мнению, если мнимые числа применимы в математике, они реальны, как действительные числа.
