Использование термина "энергия" в анахроническом смысле делает формулировку Ницше сложной, но его аргумент прост: если существует ограниченное число материи (или энергии) во Вселенной и если она конечна в пространстве, тогда число возможных сочетаний материй обязательно конечно. Если время бесконечно, то сочетания обречены на то, чтобы повторяться бесконечное число раз. Подобное объяснение, но с использованием математических терминов, было дано Пуанкаре десять лет спустя. На рисунке показано это же утверждение: дискретная система, такая как множество из девяти квадратов, где один закрашен, имеет конечное число состояний и возвращается к начальному состоянию самое большее после прохождения через все возможные конфигурации.
Возражение Цермело Больцману заключалось в следующем: Больцман утверждает, что может доказать, что величина Н — энтропия с отрицательным значением — всегда уменьшается. Но в теореме Пуанкаре доказывается: при данном достаточном времени любое сочетание атомов снова повторится, и, значит, произойдет возвращение к изначальной энтропии. Следовательно, утверждение Больцмана не может быть верным.
Больцман, истощенный противостоянием энергетикам и слабым здоровьем, ответил довольно едко. Он начал свой ответ словами: "теорема Пуанкаре, на которой основаны комментарии Цермело, явно верна, но ее применение к теории тепла, сделанное Цермело, неверно". Для обоснования своего утверждения он привел следующие аргументы:
"Природа кривой Н (энтропии относительно времени), которую можно вывести из кинетической теории, такова, что если начальное состояние значительно отклоняется от распределения Максвелла, то оно будет стремиться к этому распределению с высокой степенью вероятности и в течение чрезвычайно долгого времени будет отклоняться от него только в невероятно малых количествах. Если подождать достаточно долго, начальное состояние рано или поздно снова возникнет, но время рекурсии столь велико, что нет никакой возможности когда-либо его наблюдать".
Больцман приходил к выводу, что "статья Цермело показывает, насколько неправильно были поняты мои работы; в любом случае, мне она приятна, так как, кажется, это первый признак того, что кто-то в Германии обратил на них внимание". Его ответ был ясен: Цермело прав в том, что начальная конфигурация повторится, но ошибается, думая, что это делает недействительной теорию, которую он развил. Теория Больцмана предсказывала не только эти повторения, но и то, что они будут происходить на таких больших промежутках, что их никогда нельзя будет наблюдать, поэтому на практике никто никогда не будет наблюдать уменьшения энтропии.
В этом основное различие между физиками и математиками. Доказательство Больцмана, имеющее вероятностную природу, не могло быть воспринято математиком адекватно: теоремы, следующие из определенного числа аксиом, не могут быть действительными иногда, они должны быть справедливы для любого случая. По этой причине, несмотря на то что никогда не было найдено четное число, которое нельзя было бы выразить в виде суммы двух простых чисел (знаменитая гипотеза Гольдбаха), математики не считают, что это так. Поэтому доказательство Больцмана, подходящее для физика, не могло быть принято математиком.
Больцман (в центр·) в кругу ученых, среди них Сванте Аррениус (справа от Больцмана), 1897 год.
Герман фон Гельмгольц, физик, уважаемый Больцманом.
Эрнст Мах, физик и философ науки, возглавивший энергетическое течение.
Больцман, вероятно, понимал это, потому что затем привел другой аргумент с более математическим оттенком, но более отдаленный от физической реальности. Он писал: "Если позволить числу молекул стремиться к бесконечности, а времени движения быть очень долгим, то в подавляющем большинстве случаев получится кривая, которая (...) постоянно приближается к оси абсцисс. Теорема Пуанкаре неприменима к этому случаю, как это можно легко заметить".
Больцман утверждал, что теорема Пуанкаре неприменима по той простой причине, что при наличии бесконечного числа молекул число их сочетаний становится бесконечным. Однако у его аргумента была проблема с тем, что, как сегодня известно (и тогда предполагалось с большой долей уверенности), число молекул небесконечно. Далее Больцман делал вывод, что несмотря на то что Цермело прав, утверждая, что движение периодично в математическом смысле, он ошибается, утверждая, что это противоречит его теореме. И добавлял: "Вывод, что нужно изменить механическую точку зрения, неверен. Этот вывод был бы оправдан, если бы сама механическая точка зрения приводила к какому-то выводу, противоречащему опыту".
Ближе к концу статьи Больцман как будто случайно затрагивает очень важный вопрос, ответ на который не получен до сих пор:
"Ответ на вопрос "Почему в настоящем окружающие нас тела находятся в таком невероятном состоянии?" не может быть дан, точно так же нельзя надеяться, что наука ответит на вопрос, почему существуют явления, которые действуют, следуя неким законам".
Больцман завершил статью приложением, в котором вычислил время рекурсии для газа в контейнере, где получался результат, превышающий возраст Вселенной и который он назвал "спасительно высоким".
Но полемика на этом не закончилась. В следующей статье Цермело подчеркивал, что, согласно Больцману, вероятность уменьшения энтропии при заданном начальном состоянии очень высока, что позволяет утверждать: кривая Н (представляющая Я относительно времени) выведена только для максимумов, а это, согласно Цермело, не имеет смысла.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕКУРСИИ
Время, за которое некоторый объем газа вернется к своей начальной конфигурации, относительно просто вычислить. В теореме Пуанкаре утверждалось, что система вернется к своему начальному состоянию максимум после того, как пройдет через все возможные состояния. Значит, для вычисления времени рекурсии нужно было определить количество возможных состояний и время, которое система пребывает в каждом из них; при перемножении этих величин получалось время рекурсии. Но Больцман слегка упростил условия Пуанкаре: вместо того чтобы требовать от системы возвращения точно в исходное состояние, он довольствовался тем, чтобы она вернулась в состояние, кажущееся ему достаточным. Он считал достаточным, если каждая молекула находится в кубе со стороной 10-6 см вокруг начального положения и имеет скорость, близкую на 1 м/с к той, что была у нее в начале. Для определения времени между различными конфигурациями Больцман учитывал число столкновений в секунду: каждый раз, когда две молекулы сталкиваются, система приходит в новое состояние. Зная число молекул, их скорость и свободное пространство, он пришел к выводу, что молекулы сталкиваются 4 · 108 раз в каждую секунду на молекулу, то есть 2 · 1027 столкновений для всего газа. Тогда время, пройденное между состояниями, равнялось бы
