достигнуть той высокой сложности организации – при малых размерах, – какая достигнута естественными организмами.
IV. Будущая логическая теория автоматов
Мы подчеркивали, насколько ограничена возможность усложнения искусственных автоматов – усложнения, которого можно достигнуть без крайних трудностей и при котором тем не менее можно ожидать, что автомат будет работать надежно. Уже были названы две причины, ставящие предел усложнению в этом смысле: это большие габариты составных элементов и ограниченная надежность их работы; обе причины обусловлены тем, что мы используем материалы, которые, хотя и вполне удовлетворительны в более простых случаях, все же малопригодны и уступают по качеству естественным в такой сложной области, как автоматы. Существует и третий важный ограничивающий фактор, и теперь нам следует обратить на него внимание. Этот фактор – интеллектуального, а не физического порядка.
Ограничения, вытекающие из отсутствия логической теории автоматов
Мы весьма далеки от того, чтобы располагать теорией автоматов, которая заслуживала бы этого названия, – надлежащей логико-математической теорией автоматов. На сегодняшний день имеется хорошо разработанная система формальной логики, в частности логики, применяемой к математике. Эта дисциплина имеет много сильных сторон, но ей присущи и некоторые серьезные недостатки. Нет смысла распространяться о ее сильных сторонах, значение которых, разумеется, я нисколько не собираюсь умалять. Что же касается ее слабых сторон, то по этому поводу можно сказать следующее. Всякий, кто работал в области формальной логики, подтвердит, что она, рассматриваемая с точки зрения применяемого в ней математического аппарата, является одной из наиболее трудных областей математики. Причина этого состоит в том, что формальная логика имеет дело с жесткими понятиями типа «все или ничего» и весьма мало соприкасается со связанными с непрерывностью понятиями действительного или комплексного числа, т. е. с математическим анализом. А ведь именно анализ обладает наиболее развитым математическим аппаратом и является наиболее разработанной областью математики. Таким образом, формальная логика в силу самого существа своего подхода отрезана от наиболее разработанных частей математики и попадает в ту ее область, которая представляет наибольшие трудности, – в область комбинаторики.
Рассмотренная выше теория цифровых автоматов, автоматов типа «все или ничего», является, несомненно, главой формальной логики. Поэтому может показаться, что этой теории придется разделить с формальной логикой то непривлекательное свойство, о котором мы только что говорили. С математической точки зрения она должна как будто быть скорее комбинаторной, чем аналитической теорией.
Возможные характеристики логической теории автоматов
По моему мнению, на самом деле этого не случится. Очевидно, что при изучении работы автоматов необходимо обращать внимание на одно обстоятельство, которое раньше никогда не давало о себе знать в формальной логике.
Во всей современной логике единственно важным является вопрос, можно или нельзя получить результат в конечное число элементарных шагов. С другой стороны, число шагов, которое для этого требуется, в формальной логике почти никогда не рассматривается. Любая конечная последовательность правильных шагов принципиально так же хороша, как и любая другая. Не играет никакой роли, каково это число: мало оно или велико или, быть может, столь велико, что соответствующую последовательность шагов нельзя выполнить в течение человеческой жизни или в течение предположительного времени существования звезд. Но когда мы имеем дело с автоматами, этот подход должен быть значительно изменен. Суть дела в том, что в случае автомата играет роль не только то, может ли он вообще дать определенный результат в конечное число шагов, но и вопрос о том, сколько потребуется таких шагов. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, мы строим автоматы для того, чтобы иметь возможность получать некоторые результаты в течение определенных, наперед указанных отрезков времени или, по крайней мере, в течение таких отрезков времени, порядок которых указан заранее. Во-вторых, вероятность ошибки в компонентах автомата, используемых в любой индивидуальной операции хотя и мала, но все же отлична от нуля. Если цепь операций достаточно длинна, то суммарный эффект вероятностей отдельных ошибок может (при отсутствии контроля) достигнуть порядка единицы, вследствие чего полученный результат становится практически полностью ненадежным. Хотя вероятности, которые мы встречаем в этом случае, очень малы, они все же не слишком далеки от того, что имеется в обычном техническом опыте. Нетрудно подсчитать, что быстродействующая вычислительная машина при решении типичной задачи в среднем должна выполнить около 1012 индивидуальных операций. Следовательно, вероятность ошибки в отдельной операции, которую можно еще допустить, должна быть достаточно малой, по сравнению с 10-12. Замечу, что в настоящее время признают удовлетворительными электромеханические (телефонные) реле, если вероятность ошибки в отдельной операции имеет порядок 108; они считаются просто превосходными, если этот порядок равен 10-9. Таким образом, степени надежности, которые требуются в быстродействующих вычислительных машинах, выше, но небезгранично выше степеней надежности, прочно вошедших уже в некоторые области технической практики. И тем не менее трудно ожидать, чтобы действительно достижимые степени надежности могли выйти далеко за пределы только что упомянутых минимальных требований. В силу этого несомненно потребуются исчерпывающие исследования и нетривиальная теория.
Таким образом, логика автоматов будет отличаться от существующей системы формальной логики в двух отношениях:
1) в ней должна учитываться действительная длина «цепей рассуждения», т. е. цепей операций;
2) операции логики (силлогизмы, конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и т. д., то есть – в обычной для автоматов терминологии – различные формы вентильных схем, собирательных схем, схем совпадения, несовпадения и т. д.)[37] в этой теории должны рассматриваться как процедуры, допускающие погрешности хотя и с малыми, но все же отличными от нуля вероятностями. Все это должно привести к теориям, имеющим не столь явно выраженный характер теорий, основанных на принципе «все или ничего», какой являлась и является формальная логика. По своему характеру эти теории станут значительно менее комбинаторными и значительно более аналитическими. В самом деле, имеются многочисленные признаки, дающие основание полагать, что эта новая концепция формальной логики будет все более сближаться с другой дисциплиной, в прошлом мало связанной с логикой. Эта дисциплина – термодинамика, главным образом в том виде, который она приняла после Больцмана. Термодинамика является той частью теоретической физики, которая в некоторых из своих аспектов наиболее близка теории обработки и измерения информации. Ее средства, конечно, являются в гораздо большей степени аналитическими, нежели комбинаторными, что вновь подтверждает точку зрения, которую я пытался изложить выше. Однако более подробное рассмотрение этого вопроса завело бы меня слишком далеко.
Все это еще раз подчеркивает сделанный ранее вывод о том, что необходима детальная математическая теория автоматов и информации, которой в большей степени были бы присущи аналитические методы. В настоящее время мы располагаем только зачатками такой теории. Когда мы оценивали искусственные автоматы, о которых я
