Нетрудно понять, почему показательная функция так полезна: числа, с которыми нам приходится иметь дело, иногда бывают чрезвычайно большими, а с помощью возведения в степень вы можете превратить число средней величины в просто огромное. Как мы обсуждали в главе 13, количество различных состояний, необходимых для описания возможных конфигураций нашего сопутствующего объема Вселенной, равно примерно
1010^120
Это число настолько неимоверно, невообразимо огромное, что было бы совершенно непонятно, с какой стороны вообще подступиться к его описанию, если бы на помощь не пришло возведение в степень.
Давайте рассмотрим несколько других больших чисел, для того чтобы оценить, насколько огромно это. Один миллиард равен 109, тогда как один триллион — это 1012; с этими значениями мы хорошо знакомы благодаря обсуждениям экономики и правительственных трат. Количество частиц в нашей наблюдаемой Вселенной составляет около 1088; настолько же велика была энтропия в ранние времена. Теперь, когда у нас есть черные дыры, энтропия наблюдаемой Вселенной равна приблизительно 10101, хотя вполне могла бы дорасти до 10120. (Это число, 10120, также представляет собой отношение предсказываемого значения плотности энергии вакуума к наблюдаемой плотности.)
Для сравнения, энтропия макроскопического объекта, такого как чашка кофе, — где-то 1025. Это значение сравнимо с числом Авогадро, которое равно 6,02 ∙ 1023 — примерно столько атомов составляют один грамм водорода. Число песчинок на всех пляжах Земли — приблизительно 1020. Число звезд в типичной галактике — около 1011, а число галактик в наблюдаемой Вселенной — около 1011, то есть в наблюдаемой Вселенной существует примерно 1022 звезд — немного больше, чем песчинок на Земле.
Базовые единицы измерения, используемые физиками, — это единицы времени, длины и массы; используются также их комбинации. Самый короткий интервал времени, представляющий интерес, — это планковское время, примерно 10–43 секунд. Предположительно инфляция продолжалась около10–30 секунд или меньше, хотя это значение чрезвычайно неточно. Вселенная создала гелий из протонов и нейтронов где-то через 100 секунд после Большого взрыва, а прозрачной стала в момент рекомбинации, 380 000 лет (1013 секунд) спустя. (В одном году около 3 ∙ 107 секунды.) Сейчас наблюдаемой Вселенной 14 миллиардов лет (примерно 4 ∙ 1017 секунды.) Еще через 10100 лет или около того все черные дыры практически полностью испарятся, оставив после себя холодную и пустую Вселенную.
Самая маленькая длина — это планковская длина, около 10–33 сантиметров. Размер протона — примерно 10–13 сантиметров, а размер человеческого существа — примерно 102 сантиметров (это очень низкое человеческое существо, но мы сейчас оперируем приблизительными значениями). Расстояние от Земли до Солнца — около 1013 сантиметров; расстояние до ближайшей звезды — около 1018 сантиметров, а размер наблюдаемой Вселенной — около 1028 сантиметров.
Планковская масса — это примерно 10–5 граммов; для отдельной частицы это было бы невероятно много, но по макроскопическим стандартам — совсем нет. Самые легкие частицы с ненулевой массой — нейтрино; мы даже пока не знаем точно, какова их масса, но минимальная вроде бы составляет около 10–36 граммов. Масса протона — приблизительно 10–24 граммов, а человеческого существа — примерно 105 граммов. Солнце весит около 1033 граммов, галактика — около 1045 граммов, а масса, содержащаяся в пределах наблюдаемой Вселенной, составляет около 1056 граммов.
