Книжки » Книги » Домашняя » Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье 📕 - Книга онлайн бесплатно
Книга Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье
231
0
На нашем литературном портале можно бесплатно читать книгу Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье полная версия. Жанр: Книги / Домашняя. Онлайн библиотека дает возможность прочитать весь текст произведения на мобильном телефоне или десктопе даже без регистрации и СМС подтверждения на нашем сайте онлайн книг knizki.com.
Вычитание одного уравнения из другого дает следующий результат:
9y = 90, или y = 10.
Теперь подставим значение y в первое уравнение и получим x = 15. Таким образом, у Ала и Стива вместе 15 + 10 = 25 саламандр. Это решение абсолютно правильное, но не самое изящное.
Образцовое решение
Посмотрим, можно ли упростить решение, использовав подход от обратного. Нас не спрашивают, сколько саламандр у каждого мальчика, мы должны определить сумму их саламандр. Поэтому можно начать с тех же двух уравнений. Иначе говоря, нам нужно найти x + y, а не значение каждой неизвестной. Составим те же два уравнения исходя из условий задачи.
x — y = 5;
2x + 7y = 100.
В этот раз, однако, будем искать способ определения суммы двух неизвестных.
Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе на 2:
5x — 5y = 25;
4x + 14y = 200.
Теперь сложим эти два уравнения и получим 9x + 9y = 225 и x + y = 25. Такой метод необычен, но он демонстрирует более тонкий подход к решению задач, в которых требуется найти нечто иное, чем ожидают большинство людей.
Задача 3.10
Имея два следующих уравнения, найдите сумму x + y:
6x + 7y = 2007;
7x + 6y = 7002.
Обычный подход
Традиционный подход заключается в решении двух уравнений с двумя неизвестными.
6x + 7y = 2007;
7x + 6y = 7002.
Умножим первое уравнение на 7, а второе на 6 и получим:
42x + 49y = 14 049;
42x + 36y = 42 012.
Вычтем одно уравнение из другого:
13y = −27 963.
Таким образом, y = −2151.
Подставив это значение y в первое уравнение, мы получаем:
6x − 15 057 = 2007;
6x = 17 064;
x = 2844.
Таким образом, искомая сумма равна x + y = 2844 − 2151 = 693.
Образцовое решение
Подойдем к решению этой задачи от обратного. Два уравнения, приведенные в условиях задачи, обладают определенной симметрией. Попробуем выяснить, не поможет ли эта симметрия найти более изящное решение. Глядя на вопрос задачи, можно заметить, что нам нужно найти не индивидуальные значения x и y, как обычно, а только их сумму. Поэтому давайте посмотрим, позволяет ли упомянутая выше симметрия найти сумму сразу без предварительного определения значений x и y. Если сложить два уравнения, мы получим:
Разделив обе части уравнения на 13, мы получаем x + y = 693, а это и есть искомый ответ.
Глава 4 Принятие другой точки зрения
Среди множества стратегий решения математических задач есть такая, которая позволяет выйти из положения, когда вы «упираетесь в стену». Это подход к задаче с другой точки зрения. Ниже приведен пример такой стратегии, который является классическим в силу простоты и кардинальности изменения метода решения. В этом примере обычный подход дает правильный ответ, однако он громоздок и нередко приводит к арифметическим ошибкам. Рассмотрим следующую задачу.
В школе 25 классов, каждый из которых выставляет баскетбольную команду для участия в общешкольном турнире. По условиям турнира команда, проигравшая в одной встрече, выбывает из соревнования. В школе всего один спортивный зал, и директор хочет знать, сколько встреч придется провести в нем, чтобы определить победителя.
Типичное решение этой задачи заключается в моделировании реального турнира, в котором 12 случайно выбранных команд встречаются с другой группой из 12 команд, а одна команда освобождается от соревнований. Победители затем встречаются друг с другом, как показано ниже.
Любые 12 команд играют против других 12 команд, в результате чего определяются 12 победителей.
Во втором круге 6 победителей встречаются с 6 другими победителями, в результате чего определяются 6 победителей.
В третьем круге 3 победителя встречаются с 3 другими победителями, в результате чего определяются 3 победителя.
3 победителя + 1 команда (освобожденная от соревнований) = 4 команды.
В четвертом круге 2 оставшиеся команды встречаются с 2 оставшимися командами, в результате чего определяются 2 победителя турнира.
В пятом круге 1 команда играет против 1 команды за звание чемпиона.
Теперь подсчитаем количество проведенных игр.
Суммарное количество проведенных игр равно:
12 + 6 + 3 + 2 + 1 =24.
Такой метод решения кажется вполне разумным и определенно правильным.
Если подойти к этой задаче с другой точки зрения и определять проигравших, а не победителей, то решение будет значительно проще. В этом случае мы задаемся вопросом, сколько должно быть проигравших, чтобы определить одного чемпиона? Понятно, что проигравших должно быть 24. Чтобы появились 24 проигравших, нужно провести 24 игры. Ответ найден. Взгляд на задачу с другой точки зрения — интересный подход, который может оказаться полезным в различных ситуациях.
Для получения еще одной альтернативной точки зрения на задачу представьте, что в составе наших 25 команд одна является профессиональной баскетбольной командой, которая гарантированно побеждает в турнире. Каждая из оставшихся 24 команд при встрече с профессиональной командой неизбежно проигрывает. И опять мы видим, что для определения чемпиона нужно провести 24 игры. Это должно показать вам действенность данного метода решения задач. Посмотрим теперь, какие задачи можно эффективно решать с помощью принятия другой точки зрения.
Сайт сохраняет куки вашего браузера. Вы сможете в любой момент сделать закладку и продолжить прочтение книги «Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье», после закрытия браузера.
Книги схожие с книгой «Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье» от автора - Стивен Крулик, Альфред Позаментье:
