Ознакомительная версия. Доступно 23 страниц из 113
4 × 10–3.
Обратите внимание: сначала степень доходит до нуля, а затем получает отрицательные значения.
Известно, что 3 плюс 4 равно 7. Аналогично 30 плюс 40 равно 70, 300 плюс 400 равно 700 и 3000 плюс 4000 равно 7000. В этом и заключается красота индо-арабской системы. Складывая сколь угодно длинные десятеричные числа, мы фактически решаем эту задачу поэтапно. На каждом этапе мы всего лишь складываем однозначные числа. Именно поэтому кто-то давным-давно заставлял вас запоминать таблицу сложения.
Найдите в верхнем ряду и в левом столбце два числа, которые хотите сложить. Следуйте от них по прямой к центру, пока линии не пересекутся, и получите сумму. Например, 4 плюс 6 равно 10.
Аналогично, если требуется перемножить два десятеричных числа, выполняется более сложная процедура, которая тем не менее подразделяется на мелкие этапы, связанные с перемножением однозначных десятеричных чисел. Помните, в начальной школе мы должны были учить и таблицу умножения.
Главная прелесть позиционной нотации не в том, как хорошо она работает, а в том, как хорошо она применима в системах счисления, основанных не на десятке. Наша система счисления кому-то может показаться неудобной. Например, у большинства героев-мультяшек всего по четыре пальца на руке (или на лапе), поэтому им было бы сподручнее пользоваться системой с основанием 8. Довольно интересно следующее: большая часть правил, известных нам по десятеричной системе, вполне применима и в восьмеричной.
Глава 8
Альтернативы десятке
Число 10 — исключительно важное для человека. У большинства из нас по десять пальцев на руках и на ногах, и мы, конечно, предпочитаем, чтобы и тех, и других было по десять. Поскольку на пальцах удобно считать, человек выстроил всю систему счисления на основании числа 10.
Как упоминалось в предыдущей главе, такая система называется «система с основанием 10», или «десятеричная». Она кажется нам столь естественной, что поначалу сложно даже найти альтернативу. Действительно, когда видим число 10, нас тянет представить, что оно означает, например, десять уток.
Единственная причина, по которой возникает такая ассоциация, в том, что уток столько же, сколько и пальцев у нас на руках. Если бы у человека было иное количество пальцев, то и считали бы мы по-другому, и число 10 означало бы нечто иное. Например, число 10 может указывать и на такое количество уток.
Или так.
Или даже так.
Как только мы поймем, в каком случае 10 означает двух уток, можно будет приступать к разговору о представлении чисел при работе с переключателями, проводами, лампочками и реле (далее — и с компьютерами).
Что, если бы у людей было всего по четыре пальца на руке, как у мультяшек? Вероятно, нам бы даже не пришло в голову разрабатывать десятеричную систему счисления. Напротив, мы бы считали нормальным, естественным, разумным, неизбежным, неопровержимым и бесспорно верным построить систему счисления с основанием 8. Она называлась бы не десятеричной, а восьмеричной, или системой с основанием 8.
Если бы наша система счисления была построена на основании 8, то вот этот символ нам бы не требовался:
9.
Покажите этот символ мультяшке, и герой спросит: «Что это? Зачем это нужно?» Если задуматься, то и без этого символа можно обойтись:
8.
В десятеричной системе счисления нет специального символа для десятки, соответственно в восьмеричной системе счисления его нет для восьмерки.
В десятеричной системе счисления мы считаем: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а потом 10. В восьмеричной системе считаем: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, а потом что? Цифры кончились. Остается лишь 10, и это правильный ответ. В восьмеричной системе за 7 следует 10. Но в таком случае 10 соответствует не десяти пальцам, которые есть на двух руках у человека. В восьмеричной системе 10 — это количество пальцев у мультяшек.
Давайте считать дальше на четырехпалых ступнях.
Имея дело с иными системами счисления, кроме десятеричной, можно не путаться, если называть число 10 «один-ноль». Аналогично 13 будет «один-три», а 20 — «два-ноль». Чтобы вообще обойтись без путаницы, можно говорить «два-ноль с основанием восемь» или «два-ноль восьмеричных».
Даже когда у нас кончатся пальцы на руках и ногах, можно и далее считать в восьмеричной системе. В принципе, процесс не отличается от счета в десятеричной, просто мы пропускаем все числа, в которых есть 8 или 9. Естественно, конкретные числа обозначают уже другие величины.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 100…
Последнее число называется «один-ноль-ноль». Это общее количество пальцев мультяшки, умноженное само на себя.
При записи десятеричных и восьмеричных чисел можно избежать путаницы, записывая все числа с нижними индексами, обозначающими принадлежность к той или иной системе счисления. Нижний индекс ДЕСЯТЬ означает «основание десять», то есть десятеричную систему, а нижний индекс ВОСЕМЬ — «основание восемь», или восьмеричную систему.
Итак, Белоснежка повстречала 7ДЕСЯТЬ, или 7ВОСЕМЬ, гномов.
У мультяшек по 8ДЕСЯТЬ, или 10ВОСЕМЬ, пальцев на руке.
Бетховен написал 9ДЕСЯТЬ, или 11ВОСЕМЬ, симфоний.
У человека 10ДЕСЯТЬ, или 12ВОСЕМЬ, пальцев на руках.
Ознакомительная версия. Доступно 23 страниц из 113
