и строгое научное знание о всех допустимых формах чистой множественности (не имеющей ни единства, ни эмпирических предикатов вроде «материи», «духа», «атомов», «потоков» и т. д.). Эти формы определяются исключительно неопределенными элементами («наборами») и ничем больше, потому что составляющие множество элементы сами являются множествами. Определения того, что такое множество, не дается, и это соответствует самой функции множества, которое является чистой формой бытия, состоящей из других форм. «Полагание» осуществляется только в аксиомах, которые задают ряд относительных свойств, без которых нельзя понять, что представляет собой та или иная форма. Элементарное отношение, которое называют «принадлежностью» и обозначаемое ∈, как в случае x ∈ у, утверждает, что множество x является элементом множества у. Отношение ∈ можно считать особым: всякое другое отношение в рамках аксиоматики Цермело – Френкеля может быть определено через него посредством классической логики. Наконец, аксиоматика задает свойства отношения ∈ в рамках определенной логики, а на основе этих свойств – и целого ряда других свойств, характеризующих формы чистой множественности, к примеру «быть транзитивным», «быть бесконечным», «быть фундированным», «быть ординальным», «быть множеством подмножеств», «быть функцией», «быть обобщенным», «быть недоступным кардиналом» и т. д. Все эти свойства дают философу чрезвычайно гибкие инструменты понятийного постижения бытия, а оно, в свою очередь, оказывается философской проблемой с подачи математики.
Может возникнуть вопрос, почему спекулятивное изучение бытия, как подметил уже Аристотель в книге Гамма своего трактата «Метафизика», должно осуществляться с опорой на классическую логику, для которой ведущую роль играет принцип непротиворечивости (невозможно одновременно утверждать «p» и «неверно, что p») и принцип исключенного третьего (если дано корректно построенное высказывание «p», то верно одно из двух: либо оно истинно, либо оно ложно, а третьего не дано). Философский ответ гласит: в большинстве случаев онтологические высказывания требуют, как величаво указывает Парменид, чтобы мы пользовались рассуждением от абсурда. Парменид начинает свое спекулятивное рассуждение с утверждения, что мы не можем непосредственно показать, будто существует только бытие, потому что для обоснования этого утверждения нам нужно показать, что небытие не существует. В духе его учения часто говорят, что в рамках теории множеств невозможно прямо доказать существование той или иной формы чистой множественности. Относительно определенного набора форм невозможно построить конструктивного и по возможности также интуитивно ясного доказательства их существования. Но зато мы можем прийти к другому результату, например: «Если я отрицаю существование этой конкретной формы множественности, то я вынужден отрицать и то высказывание, которое я до этого признал истинным». Рассуждение от абсурда в таком случае позволяет заключить, что данная форма множественности существует. Мы также можем – должны – принять правило самой широкой допустимости, которое можно сформулировать следующим образом: «Если данная форма множественности, например тот или иной вид бесконечной множественности, может быть ясно определена в рамках формального языка, так что отрицать ее существование окажется невозможно, то я могу, а на самом деле я должен, принять, что она существует». Вся суть в том, что с онтологической точки зрения на фундаментальном отношении принадлежности, то есть е, стоит печать классической логики.
Действительно, если даны два множества х и у, то верно либо «х ∈ у», либо «неверно, что х ∈ у». Третьего не дано, а значит, действует закон исключенного третьего из классической логики. Мое спекулятивное суждение поэтому состоит в том, что онтология – классична.
Теперь я должен показать, что аксиомы классической теории множеств, основанной на аксиоматике Цермело – Френкеля, могут похвастаться философской легитимностью. Мне это удалось, я полагаю вполне добросовестно, продемонстрировать для каждой аксиомы системы Цермело – Френкеля. Ограничусь здесь тремя примерами, которые затрагивают наиболее спорные аксиомы, в том числе и с точки зрения философов.
Первый пример. Я принимаю по исключительно онтологическим соображениям ужасную, контринтуитивную и часто поносимую «аксиому выбора», которая представляет собой одну из важнейших и характернейших составляющих системы Цермело – Френкеля. Эта аксиома утверждает, что если дано множество множеств – чем, как мы помним, является любое множество, – то всегда без исключения можно найти такую функцию, которая позволяет мне отыскать в каждом из этих множеств один, и только один, элемент. Иначе говоря, если дано множество A, включающее элементы x1, x 2, x 3… xn, xn +1…, существует такая функция f, именуемая функцией выбора, что она «извлекает» из каждого набора элементов x1, x2, x3… xn, xn+1… один, и только один, элемент. В общем, мы имеем такую функцию f(A), что для каждого xn из A существует yn, ∈ f(A), такой, что этот yn окажется единственным элементом из f(A), принадлежащим xn. Функция f «выбирает» один элемент из набора принадлежащих A элементов. Так что f(A) можно сравнить с национальной ассамблеей представителей элементов из множества A, по одному избранному представителю на каждый элемент, а f в таком случае – электоральная процедура по назначению этих представителей.
Аксиома выбора позволяет избежать проблем с выбором, покуда оперируют конечными множествами. Но в случае с бесконечными множествами возникает вопрос, каким образом определять функцию, ставящую одного представителя в соответствие каждому элементу исходного бесконечного множества? Чаще всего невозможно доказать существование точно заданной операции извлечения бесконечного набора представителей из бесконечного множества. С аксиомой выбора потому спорили, что она утверждает существование операции, которую невозможно задать. На самом деле в случае с бесконечными множествами аксиома выбора утверждает существование особого бесконечного множества, такого, которое является результатом одновременного выбора по одному элементу из каждого элемента исходного бесконечного множества. Но само существование этого множества, в общем, не может быть доказано или сконструировано, а потому его существование постулируется аксиомой выбора как априорный принцип.
Тем не менее я принимаю эту аксиому по трем соображениям философского характера.
Первое я называю принципом максимальности: материалистическая онтология полагает, что любая точно заданная форма множественности должна считаться гипотетически реальной, если не доказано обратного. Всякое ограничение на существование тех или иных форм множественности с онтологической точки зрения неприемлемо, если оно мотивировано границами нашей способности как существ конечных на деле сконструировать составляющие их элементы. Ведь в противном случае мы впадаем в эмпирический релятивизм. То, что мы не в состоянии сконструировать ту или иную форму бытия множественности, не означает, что мы вправе отрицать ее существование. За неимением опровержения аксиома выбора остается в силе. С точки зрения этой аксиомы некое множество ясно определяется как «представитель» некоторого иного множества, что уже само по себе интересно, но и с практической точки зрения доказало свою незаменимость в современном анализе.
Второе соображение – логическое. Согласно красивой теореме Диаконеску, используемой в рамках теории категорий, аксиома выбора требует опираться на классическую логику. Отказ от аксиомы выбора, таким
