45. Беспокойная муха
В тоннель длиной 1 км с разных концов и одновременно въезжают два поезда, скорость каждого – 50 км/ч. Своим шумом они будят муху, которая спала у одного из въездов. Муха начинает улетать от поезда со скоростью 100 км/ч, долетев до состава, идущего навстречу, резко разворачивается и летит обратно, затем снова разворачивается и т. д. Какой путь успеет проделать муха к моменту, когда поезда встретятся?
1. 1 км.
2. 1,5 км.
3. 2 км.
Муха пролетает по сложной траектории, но для решения задачи она неважна – важно знать, что в любой момент времени скорость мухи одна и та же (100 км/ч). Чтобы посчитать путь, достаточно знать время, что муха была в полете, – это время, за которое поезда достигнут середины тоннеля, т. е. 0,5 × 1 км ∕ 50 км/ч = 0,01 ч. Теперь перемножим это время и скорость мухи, получаем 1 км – тот путь, что проделало насекомое.
46. Справедлива ли игра?
Игра «Попытай счастья» проводится по таким правилам: вы делаете ставку на какое-то число (от 1 до 6), выбрасываются три игральных кубика, если на одном из них выпало загаданное вами число, вам возвращается первоначальная ставка плюс еще столько же, если на двух кубиках – возвращается ставка плюс выигрыш – удвоенный размер ставки, если сразу на трех кубиках, то вы получаете первоначальную ставку плюс ее утроенный размер. Справедлива ли эта игра?
Варианты ответов
1. Справедлива, в среднем игрок получает столько же, сколько отдает.
2. Была бы справедливой, если бы почаще выпадали двойные и тройные выигрыши.
3. Несправедлива, игрок теряет деньги как раз из-за двойных и тройных выигрышей.
Правильный ответ: 3
Справедливая игра – та, в которой в среднем игрок не выигрывает и не проигрывает. Такая игра не в интересах казино, поэтому игры против казино всегда не вполне справедливы. Так, если на рулетке вы поставите по доллару на все номера сразу (включая зеро), то потратить придется $37, а выиграете, хотя и гарантированно, только $36, 1/37 всех ставок в среднем всегда достается казино. А что с игрой «Попытай счастья»? Поставим по доллару на каждый номер. Если выпали три разных значения, то мы при своих: угадав три выпавших номера, мы получили с каждого из них по $2, значит, нам вернули $6, ровно столько мы и ставили. Хуже, если на двух кубиках выпал один и тот же номер: тогда мы получим $3 (начальная ставка плюс ее удвоенный размер) за повторный номер и еще $2 за другой выпавший номер. Выходит, возвращается только $5 из $6, 1/6 поставленных денег мы потеряли. Ну и самый грабительский вариант – это когда один номер выпал на всех трех кубиках: тогда из $6 нам вернется только $4, потери составляют 1/3! Если аккуратно посчитать вероятности выпадения двойных и тройных значений костей, мы придем к тому, что примерно 1/12 всех ставок идет в пользу организатора игры. Из этого понятно, что игра «Попытай счастья» по меньшей мере втрое несправедливее игры на рулетке!
47. Митин прямоугольник
У Мити есть набор одинаковых картонных квадратов, из которых он выкладывает различные фигуры. В частности, ему нравится выкладывать прямоугольники, причем такие, у которых число внешних (идущих по периметру прямоугольника) квадратов равно числу внутренних (все остальные – те, что внутри). Сколько таких прямоугольников может выложить Митя?
Варианты ответов
1. Это невозможно в принципе, число внешних и внутренних квадратов всегда будет различным.
2. Такие прямоугольники существуют, их ровно две штуки.
3. Если число квадратов в наборе неограниченно, то таких прямоугольников может быть сколько угодно.
Правильный ответ: 2
Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Тогда число внутренних квадратов – это площадь «обрезанного» прямоугольника, у которого срезали внешние квадраты, расположенные по периметру, и оно равно (a – 2) (b – 2). Число же внешних квадратов – это 2a + 2b – 4. Приравнивая две эти формулы и определяя b через a, получим b = 4 (a – 2)/(a – 4). На первый взгляд, ввиду того, что a может принимать какие угодно значения, у нас и правда бесчисленное множество решений. На деле это не так, потому что решения нас устраивают не абы какие, а только диофантовы (от имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского, III век н. э.) – т. е. такие, которые выражаются в целых числах (требование, чтобы число квадратов было целым, представляется самоочевидным). А таких решений только два: a = 5, b = 12; a = 6, b = 8. Есть еще симметричные решения, где a и b меняются местами (a = 8, b = 6 и a = 12, b = 5), но это на деле те же самые прямоугольники, просто повернутые на 90°.
48. Ползи, улитка, по склону Фудзи
Улитка за день взбирается по склону Фудзи[4] на 150 м, к ночи засыпает, выпадает роса, и улитка соскальзывает по влажной горе вниз на 100 м. Она начала свой путь 1 июня. Когда улитка доберется до вершины? Высота Фудзи почти 3800 м.
