Дежерандо посвятил себя изучению политики и философии. Именно он познакомил Ампера с его второй женой. Однако эта история, начавшаяся в 1806 году, закончится крайне неудачным браком.
Трудно понять детские и юношеские годы Ампера, не учитывая его семейную и общественную жизнь. В Лионе он научился разделять науку и ее имитацию и начал проявлять интерес к математике и культуре. Он много узнал о научных проблемах, и эти знания послужат ему пищей для размышлений в последующие годы. Ампер научился жить, преодолевая трудности и справляясь с болью, переживать которую его заставляла сама революционная эпоха. Смерть жены, Жюли Каррон, вынудила ученого покинуть родной город, приняв преподавательскую должность в Париже. В то время он окончательно перестал верить в Бога.
Когда Ампер перебрался в Париж в 1804 году, ему было 29 лет, жизнь закалила его. Однако в столице его ожидала не только блестящая научная карьера, но и новые несчастья. Он все время вспоминал о своем деревенском детстве и так и не привык к городской жизни.
Тем не менее Ампер прожил в Париже до самой своей смерти в 61 год. В своих письмах ученый писал, что уютно себя чувствует только в Отей, парижском квартале, который пересекает Сена, напоминающая ему о лионской Соне. Покинуть родной город Ампера заставили две главные причины: боль от смерти Жюли и стремление выстроить научную карьеру.
ТРИУМФ МАТЕМАТИКА
В письме от 21 июля 1805 года Ампер писал Элизе Каррон, своей свояченице:
«Одно лишь меня радует, хоть и нечасто, пусть даже эта радость глупая и искусственная, — возможность обсуждать метафизические вопросы с теми, кто занимается этой наукой в Париже. Они относятся ко мне еще более дружески, нежели математики. Но в силу должности я вынужден работать с последними, что изрядно докучает мне, поскольку я не люблю математиков».
Элиза поддерживала Ампера в его первый год в Париже, но в 1808 году она также скоропостижно умерла. Это письмо нужно понимать следующим образом: Ампер нуждался в поддержке, однако в математической среде ее найти не мог. Впрочем, ученый сообщал Элизе в том же письме, что после переезда в Париж написал два доклада, которые были опубликованы в газете, издаваемой Политехнической школой. Он умел сосредотачиваться на работе даже в моменты отчаяния, и это еще раз напоминает о том, каким необыкновенным человеком был Ампер. В то время его математические работы были связаны с уравнениями в частных производных.
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
В 1806 году Ампер опубликовал один из своих докладов о производных функциях с длинным названием: «Исследование некоторых аспектов теории производных функций, ведущее к новому доказательству рядов Тейлора и конечному выражению бесконечно ничтожных показателей при прерывании рядов через какой бы то ни было показатель». Теорема Тейлора была сформулирована английским математиком Бруком Тейлором (1685-1731) в 1712 году.
В работе Ампера ощущалась нехватка метода системной организации определений, аксиом и теорем, который в дальнейшем разовьет один из его коллег, математик Огюстен Луи Коши (1789-1857).
Эту работу можно рассматривать как набросок к более позднему исследованию уравнений в частных производных. Ее целью было изменение подхода Лагранжа, по поводу которого в Политехнической школе в 1799 году состоялось множество конференций. Лагранж опубликовал свой труд в 1804 году под названием «Лекции об исчислении функций». Он определял производную функции через ее разложение в ряд Тейлора и рассчитал выражение для остаточного члена, приблизив функцию через усечение разложения до данного члена. Другими словами, Лагранж использовал понятие производной функции, не вводя понятия предела.
Ампер дополнил подход Лагранжа: он дал новое определение производной и предложил новую формулу для разложения в ряд Тейлора, по-прежнему не используя понятия предела.
Определение, предложенное Ампером в его статье 1806 года, основывается, как мы можем видеть, на алгебре.
Производная функции f(x) — функция от х следующего вида:
f(x + i)-f(x)/i
Она всегда лежит между двумя значениями производной функции, взятыми между х и х + г/, какими бы ни были x и y.
Андре-Мари Ампер называл частной функцией приращения частное, возникающее в данном ниже определении. Прежде чем дать определение в тексте, он объяснял, откуда появлялись эти выражения:
«Эта функция (приращения), которая очевидным образом зависит от ƒ(x) и которую господин Лагранж назвал вследствие этого ее производной функцией, является, как мы знаем, очень важной в математике, особенно в геометрии, и механике; мы запишем ее, как делал этот блестящий математик, в виде ƒ(x), и нашей первой целью будет доказательство ее существования».
На самом деле при i = 0 мы получаем неопределенность вида 0/0. Но Ампер доказал, что эта неопределенность может иметь какое угодно значение, не только 0 или бесконечность; он доказал существование частного приращения, уточнив его определение. При этом Ампер не рассматривал возможность, когда i стремится к нулю, а ограничился ситуацией, когда i равно нулю; в некотором роде ученому не хватило понятия предела. Потом он проверил свое определение, применив его к тригонометрическим функциям. Он расширил использование определения, с тем чтобы доказать, что теорема Тейлора, несмотря на ее сложность, является релевантной. Исследование заканчивается обобщением подхода Ампера к функциям с двумя переменными, что является предвестием большего математического труда под названием «Общие рассуждения об интегралах в дифференциальных уравнениях в частных производных», опубликованного в 1815 году в журнале Политехнической школы.
ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА
Ряд Тейлора — это бесконечная сумма выражений, содержащих производные функции f(x) всех порядков. Ряд Тейлора функции f(x) в окрестности точки х = а записывается в виде следующего степенного ряда:
∞
f(x)=f(a) + f'(a)/1!(х - а)+f"(a)/2!(х - а)2+f'"(a)/3!(х - а)3+...Σf(n)(a)/n!(х - а)n
n=0
Чем больше степень, тем точнее приближение функции; иными словами, приближение улучшается по мере добавления членов ряда. Напомним, что n! — это факториал, математический оператор, который является произведением всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Например: 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24. Случай приближения функции синуса окрестности точки х = 0 простой, потому что все четные производные обнуляются (см. рисунок):
f(x) = х - x3/3! + x5/5! ...
Отсюда мы можем вывести теорему Тейлора, которую обобщил шотландский математик и астроном Джеймс Грегори (1638-1675). Эта теорема гласит, что дифференцируемую функцию в окрестности точки можно приблизить многочленом, коэффициенты которого зависят от производных функции в данной точке. Этот многочлен является не чем иным, как усеченны рядом Тейлора, дополненным суммой членов более высоких порядков:
