Книжки » Книги » Домашняя » Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин 📕 - Книга онлайн бесплатно
Книга Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин
426
0
На нашем литературном портале можно бесплатно читать книгу Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин полная версия. Жанр: Книги / Домашняя. Онлайн библиотека дает возможность прочитать весь текст произведения на мобильном телефоне или десктопе даже без регистрации и СМС подтверждения на нашем сайте онлайн книг knizki.com.
Обратите внимание на подсчет в третьей строке (–x и – y при умножении дают xy со знаком плюс). К результату 49 можно прийти и другим, менее алгебраическим, способом: достаточно просто посмотреть на второй столбец таблицы и увидеть там те самые четыре числа, которые нужны нам для «запуска» FOIL: (x + (7 – x))(y + (7 – y)) = 7 × 7 = 49.
На уроках алгебры правило FOIL обычно применяют для решения таких, например, задач:
(x+ 3)(x +4) =x²+ 4x+ 3x+12 =x² + 7x +12
В крайней правой части число 7 (которое в этом случае называется коэффициентом числа х) есть сумма 3 и 4; 12 же (здесь он будет постоянным членом) – их произведение. Ну а получить ответ с нашим-то опытом – дело элементарное: так как 5 + 7 = 12, а 5 × 7 = 35, получаем
(x+ 5)(x +7) =x² + 12x+ 35
С отрицательными величинами это тоже отлично работает, и вот тому подтверждение: в нашем первом примере мы начинаем с того, что 6 + (–2) = 4, а 6 × (–2) = –12.
(x+ 6)(x– 2) =x² + 4x– 12
(x+ 1)(x– 8) =x² – 7x– 8
(x– 5)(x– 7) =x² – 12x+ 35
А вот примеры, когда известные числа у нас одинаковые:
(x+ 5)² = (x+ 5)(x+ 5) =x² + 10x+ 25
(x– 5)² = (x – 5)(x – 5) =x² – 10x+ 25
Обратите внимание, кстати, что (x + 5)² ≠ x² + 25: ошибку эту делают почти все, кто только начинает познавать азы алгебры. Но куда интереснее обстоят дела, когда у нас есть два одинаковых числа с разными знаками. Например, так как 5 + (–5) = 0,
(x+ 5) (x– 5) =x² + 5x– 5x– 25 =x² – 25
Главное, что нужно запомнить – формула разности квадратов двух переменных:
(x+y)(x – y) =x² –y²
Мы уже пользовались ей в главе 1, в примере, когда учились в уме возводить в квадрат числа. Способ этот основан на алгебраической формуле:
A² = (A+d)(A – d) +d²
Сначала давайте удостоверимся в правильности этой формулы. В отличие от формулы квадратов здесь мы имеем [(A + d)(A – d)] + d² = [A² – d²] + d² = A². Стало быть, это действительно для всего диапазона значений A и d. На практике буквой A обозначается число, возводимое в квадрат, а d – его разность с ближайшим круглым числом. Например, чтобы возвести в квадрат 97, мы принимаем d за 3, чтобы получить
А вот несколько рисунков, доказывающих закон квадратичной зависимости. На них показано, как геометрическая фигура с площадью x² – y² может быть преобразована в прямоугольник с площадью (x + y)(x – y).
В главе 1 мы научились перемножать между собой близкие по значению числа. Но если там мы оперировали числами, близкими к сотне и начинающимися с одной и той же цифры, то здесь, используя элементы алгебры, мы можем поговорить и о более интересных примерах. Скажем, вот алгебраическая интерпретация метода сближения:
(z + a)(z+b) =z(z+a+b) +ab
Это становится возможным, потому что (z + a)(z + b) = z² + zb + za + ab, а значит, мы можем вынести за скобки из первых трех элементов сомножитель z. Формула эта работает для любых значений, хотя обычно под z мы понимаем число, заканчивающееся на ноль. Чтобы перемножить, например, 43 × 48, мы берем за z число 40, соответственно, a = 3, b = 8. И тогда наша формула говорит нам, что
Обратите внимание, что при сложении наши множители дают 43 + 48 = 91 – тот же результат, что и менее сложные для подсчетов 40 + 51 = 91. Это совсем не случайно, ведь алгебра говорит нам, что сумма изначальных множителей представляет собой (z + a) + (z + b) = 2z + a + b, что является в то же время суммой более простых чисел z и z + a + b. А значит, мы можем легко округлять изначальные числа до удобных нам при подсчетах. Последнее вычисление, например, может быть сведено к z = 50, a = –7 и b = –2, и умножать мы будем 50 на 41. (Легко понять, откуда взялось 41: 43 + 48 = 91 = 50 + 41.) Следовательно,
Обратите внимание, что 96 + 97 = 193 = 100 + 93 (на деле я всего лишь сложил две последние цифры, 6 и 7, чтобы узнать, что сотню нужно умножать на число, заканчивающееся на 3 и, скорее всего, равное 93). Со временем, получив опыт, вы научитесь не обращать внимания на минусы и умножать не отрицательные числа, а их положительные «отражения». То есть
Сайт сохраняет куки вашего браузера. Вы сможете в любой момент сделать закладку и продолжить прочтение книги «Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин», после закрытия браузера.
Книги схожие с книгой «Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин» от автора - Артур Бенджамин:
