Теорема Белого Кота
W Cat
Предисловие
Пять лет я писал 'Систему Диофанта' и это не значит, что я стучал по клавиатуре все пять лет (допустим по 4 страницы в день - это сколько же будет?). Между главами пробегало от 1 до 13-17 месяцев; поэтому главы стилистически различны, но для меня этот опус - дневник и в этом его ценность.
Опыт показывает, что нормальные читатели начинают читать с начала, а потом, убедившись, что все чепуха, бросают это грязное дело. Т.е. с моей точки зрения, большинство читателей не дошли до 'сладкого'.
Поэтому, не удаляя ценный для меня дневник, попробую написать все заново.
Попытка номер два
Все началось с задачи Диофанта
'Два числа в сумме дают 20, а их произведение равно 96. Ну, ясное дело, надо определить эти числа'
В современной записи это будет система:
s + d = 20
s * d = 96
Фигурную скобку системы { поставьте мысленно.
Решением будет квадратное уравнение:
s2 - 20s + 96 = 0
Как вы помните для квадратного уравнения (КУ)
ax2 + bx + c = 0
корни вычисляются по формуле:
Сегодня меня интересуют только приведенные квадратные уравнения (ПКУ - это когда a=1).
И еще для дальнейшего удобства ввожу переменную h = -b/2.
В таком случае формула упрощается до:
В этом сочинении меня интересует ТОЛЬКО графическое решение уравнения.
Пропускаем тривиальные рассуждения о параболах и рассмотрим подкоренное выражение.
Да! Введем еще одну подстановку вместо переменной с, введем некое число в квадрате, пусть будет v (т.е. c = v2).
Значит под корнем будет:
h2 - v2
Если вы присмотритесь, то под корнем оказалась теорема Пифагора.
То есть для нахождения корней не нужно возводить число в квадрат а затем из разности извлекать корень (3 - операции), а достаточно одной операции извлечь корень из c и построить треугольник (циркулем и линейкой).
Для уравнения x2 -10x + 16 = 0 графическое решение будет таким:
Производим вычисления h = 5; v = 4
Рис. 1.
Корни x1=2, x2 = 8.
[знак при v не имеет значения]
Немного другое решение для случая, когда корни имеют разные знаки.
Например, для уравнения x2 -6x - 16 = 0.
Производим вычисления h = 3; v = 4
Рис. 2.
[знак при v не имеет значения]
Корни x1= -2, x2 = 8.
Как определить потребный случай? Легко! По знаку перед коэффициентом c, если минус значит рисунок 2, и обратно (подробнее в 'Системе Диофанта').
---
Рассмотрим еще одно уравнение:
x2 – 2x + 4 = 0
Вычисляем параметры: h = 1; v = 2
Мне лень опять рисовать, давайте сделаем построения мысленно.
1. откладываем h по оси OX
2. проводим перпендикуляр (все равно – вверх или вниз)
3. на перпендикуляре откладываем v
4. циркуль раздвигаем на размер h
5. проводим дугу окружности для получения пересечения с осью абсцисс
6. убеждаемся, что пересечения не произошло, т.к. радиус окружности h=1 меньше v = 2
Ясно, что уравнение x2 – 2x + 4 = 0 не имеет решения. (получен довольно простой метод определения решаемости уравнений).
---
Теорема
Теперь внимательнее посмотрим на многострадальное подкоренное выражение.
Согласно теореме Виета:
b = x1 + x2; c = x1*x2 (для ПКУ)
Отсюда под корнем будет:
Смотрите!
(x1+x2)/2 - это среднее арифметическое.
А корень из произведения x1 * x2 - среднее геометрическое.
Теперь задачу Диофанта можно сформулировать по-другому:
Дано: среднее арифметическое и геометрическое двух чисел.
Найди эти числа.
В нете нашел графический метод вычисления среднегеометрического.
Рис. 3.
Сравните с рисунком 2 - полное соответствие, что совершенно естественно, т.к. это одна и та же задача только заданное и искомое поменялись местами, а от перемены мест рисунок не изменился.
В том же неиссякаемом источнике нашел способ графического извлечения корня.
!Гениально просто!
a = 1; b - исследуемое число ..... в результате под корнем 1 * b
И из b извлекается корень!!!
Совместим рисунки 3 и 1. т.е вначале найдем корень квадратный из c , а затем корни квадратного уравнения x2 - 10x + 16 = 0.
Рис. 4.
Два средних встречаются под одним корнем - это 'жу-жу' неспроста.
Поискал, посмотрел. Вся сеть заполнена рефератами восьмиклассников о многообразии средних и о том, что они происходят от одной формулы:
Среднее степенное -
Там же нашел вариант рисунка 3 в коем кроме арифметического и геометрического представлены: гармоническое и квадратичное средние, но выглядит это как-то неуклюже искусственно. И совсем по-другому, понятно и логично эти величины отображаются в трапеции:
Рис. 5.
ABCD - трапеция, AD = a, BC = b
(1) среднее гармоническое
проходит через точку пересечения диагоналей O
(2) среднее геометрическое
трапеция ALTD подобна трапеции LBCT
(3) среднее арифметическое
средняя линия трапеции (L - середина AB, T - середина CD)
(4) среднее квадратичное
линия равновесия (площадь AMND равна площади MBCN)
{на рисунке 5 кроме (1) линии нарисованы ОЧЕНЬ приблизительно }
А теперь читателю предлагается доказать следующую теорему:
